Questão 1. Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar a solução geral
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é a função
. - A equação contém termos com
, logo só faz sentido onde . - Deve-se encontrar a família de soluções gerais (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos manipular algebricamente a equação para deixar
isolado. Somando
em ambos os lados:
Agora dividindo por
:
Isso é só rearranjo algébrico — nada resolvido ainda, apenas deixamos a derivada explícita.
Passo 3
A equação já está na forma que permite separar variáveis (cada lado com apenas
ou
). Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma separada:
Explicação do método (curta aula): uma equação é separável quando pode ser escrita como
. A ideia é integrar cada lado em sua variável:
. Aqui
e
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação à variável indicada:
Calculemos as integrais passo a passo:
-
(useu a regra .) -
onde é a constante de integração.
Portanto obtemos a relação implícita
Passo 5
Agora resolvemos explicitamente para
. Tirando raiz quadrada em ambos os lados:
onde
é a constante arbitrária. Observações importantes e didáticas:
- O
aparece porque tem duas raízes quadradas. - Como a equação original tem
, não são permitidos pontos onde . Assim, para uma solução real contínua num intervalo, deve-se escolher e um ramo ou de modo que em todo o intervalo considerado (caso contrário a solução real falha onde a expressão se anula). - A forma implícita
também é uma descrição válida da família de soluções.