Questão 1. Determine a solução geral da equação diferencial
2 \frac{d y}{d x}-\frac{1}{y}=\frac{2 x}{y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}=\frac{2x}{y}
e pede: determinar a solução geral y(x). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação contém termos com \tfrac{1}{y}, logo só faz sentido onde y\neq 0.
  • Deve-se encontrar a família de soluções gerais (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a equação para deixar \dfrac{dy}{dx} isolado. Somando \dfrac{1}{y} em ambos os lados:
2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}+\frac{2x}{y}=\frac{1+2x}{y}.
Agora dividindo por 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{1+2x}{2y}.
Isso é só rearranjo algébrico — nada resolvido ainda, apenas deixamos a derivada explícita.

Passo 3

A equação já está na forma que permite separar variáveis (cada lado com apenas x ou y). Multiplicando ambos os lados por 2y\,dx obtemos a forma separada:
2y\,dy=(1+2x)\,dx.
Explicação do método (curta aula): uma equação é separável quando pode ser escrita como g(y)\,dy=h(x)\,dx. A ideia é integrar cada lado em sua variável: \int g(y)\,dy=\int h(x)\,dx + C. Aqui g(y)=2y e h(x)=1+2x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação à variável indicada:
\int 2y\,dy=\int (1+2x)\,dx.
Calculemos as integrais passo a passo:
  • \displaystyle \int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^2}{2}=y^2. (useu a regra \int y\,dy=\tfrac{y^2}{2}.)
  • \displaystyle \int (1+2x)\,dx = \int 1\,dx + \int 2x\,dx = x + x^2 + C, onde C é a constante de integração.
Portanto obtemos a relação implícita
y^2 = x + x^2 + C.

Passo 5

Agora resolvemos explicitamente para y. Tirando raiz quadrada em ambos os lados:
y(x)=\pm\sqrt{x^2+x+C},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. Observações importantes e didáticas:
  • O \pm aparece porque y^2 tem duas raízes quadradas.
  • Como a equação original tem \tfrac{1}{y}, não são permitidos pontos onde y=0. Assim, para uma solução real contínua num intervalo, deve-se escolher C e um ramo (+) ou (-) de modo que x^2+x+C>0 em todo o intervalo considerado (caso contrário a solução real falha onde a expressão se anula).
  • A forma implícita y^2=x^2+x+C também é uma descrição válida da família de soluções.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{x^2+x+C},\qquad C\in\mathbb{R}

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