Uma colônia de bactérias cresce continuamente e dobra de tamanho a cada 3 horas. Encontre uma EDO que modele o crescimento da colônia de bactérias.

Passo 1

O enunciado diz que a colônia de bactérias cresce de modo contínuo e dobra de tamanho a cada 3 horas. O conteúdo aqui é equacionar uma EDO de crescimento exponencial, onde a taxa de variação da população é proporcional ao tamanho atual da população.

Passo 2

Num modelo de crescimento exponencial, se N(t) é o número de bactérias no instante t, a EDO geral é
\frac{dN}{dt} = k\,N,
onde k é a constante de crescimento que precisamos determinar.

Passo 3

A solução geral dessa EDO é
N(t) = N(0)\,e^{k\,t}.
Como a colônia dobra em 3 horas, temos
N(3) = 2\,N(0) \quad\Longrightarrow\quad N(0)\,e^{3k} = 2\,N(0) \quad\Longrightarrow\quad e^{3k} = 2.
Tomando logaritmo natural,
3k = \ln 2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{3}.

Passo 4

Substituindo o valor de k na EDO geral, obtemos o modelo desejado:

Resposta

\frac{dN}{dt} = \frac{\ln 2}{3}\,N.

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