Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=x \sqrt{x^{2}+y} e os planos x=0, x=1, y=0, y=1 e z=0.
Resp. \frac{4}{15}(2 \sqrt{2}-1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido delimitado pela superfície
z = x \sqrt{x^{2}+y}
e pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1 e z=0.
O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral dupla, usando
V = \iint_{R} f(x,y)\,dA,
onde R é a região no plano xy e f(x,y) é a altura z.

Passo 2

Identificamos a projeção R no plano xy como o retângulo
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1.
Logo,
V = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} x \sqrt{x^{2}+y}\;dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y. Faça a substituição
u = x^{2}+y,\quad du = dy,
quando y=0 temos u=x^{2} e quando y=1 temos u=x^{2}+1. Assim,
\int_{0}^{1} x\sqrt{x^{2}+y}\;dy = x \int_{u=x^{2}}^{u=x^{2}+1} \sqrt{u}\;du = x \,\frac{2}{3}\Bigl[(x^{2}+1)^{3/2} - (x^{2})^{3/2}\Bigr].

Passo 4

Substituindo de volta em V,
V = \int_{0}^{1} x\sqrt{x^{2}+y}\,dy\,dx = \int_{0}^{1} \frac{2x}{3}\Bigl[(x^{2}+1)^{3/2} - x^{3}\Bigr] dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{1}\bigl[x(x^{2}+1)^{3/2} - x^{4}\bigr]dx.

Passo 5

Separe em duas integrais:
I_{1} = \int_{0}^{1} x(x^{2}+1)^{3/2}dx,\qquad I_{2} = \int_{0}^{1} x^{4}dx.
Para I_{1} use a substituição t=x^{2}+1, dt=2x\,dx, indo de t=1 a t=2:
I_{1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} t^{3/2}dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\bigl[t^{5/2}\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{5}\bigl(2^{5/2}-1\bigr).
E
I_{2} = \int_{0}^{1} x^{4}dx = \frac{1}{5}.
Portanto
V = \frac{2}{3}\Bigl(I_{1}-I_{2}\Bigr) = \frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{5}(2^{5/2}-1)-\frac{1}{5}\Bigr) = \frac{2}{15}\bigl(2^{5/2}-2\bigr).

Passo 6

Observe que 2^{5/2}=2\cdot2^{3/2}=2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}. Então
V = \frac{2}{15}\bigl(4\sqrt{2}-2\bigr) = \frac{4}{15}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\frac{4}{15}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

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