Mostre que o conjunto
é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar dadas por:
Passo 1
O problema pede para mostrar que o conjunto
, com adição
e multiplicação por escalar
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial real. Vamos conferir as propriedades de adição (grupo abeliano) e as propriedades envolvendo escalares.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e , então
. - Comutatividade:
. - Associatividade: para
,
coincide compois a soma em é associativa.
Passo 3
Existência de elemento neutro e inverso aditivo:
- Neutro:
satisfaz . - Inverso: para
, o vetor está em e
.
Passo 4
Propriedades básicas da multiplicação por escalar:
- Fechamento: se
e , então
. - Identidade escalar:
. - Compatibilidade com produto de escalares:
.
Passo 5
Distributividade:
- Sobre a soma de vetores:
- Sobre a soma de escalares:
Resposta
Como todas as propriedades de adição e de multiplicação por escalar estão satisfeitas, concluímos que
é de fato um espaço vetorial real com as operações dadas.