Mostre que o conjunto \mathbb{R}^{3}=\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\} é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar dadas por:
\begin{aligned} \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) & =\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2}\right) \\\ \alpha(x, y, z) & =(\alpha x, \alpha y, \alpha z) . \end{aligned}

Passo 1

O problema pede para mostrar que o conjunto \mathbb{R}^3, com adição
(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e multiplicação por escalar
\alpha\,(x,y,z)=(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z),
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial real. Vamos conferir as propriedades de adição (grupo abeliano) e as propriedades envolvendo escalares.

Passo 2

Verificamos que (\mathbb{R}^3,+) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: se \mathbf u=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf v=(x_2,y_2,z_2), então
    \mathbf u+\mathbf v=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\in\mathbb{R}^3.
  • Comutatividade:
    \mathbf u+\mathbf v=(x_1+x_2,\dots)=(x_2+x_1,\dots)=\mathbf v+\mathbf u.
  • Associatividade: para \mathbf w=(x_3,y_3,z_3),
    \mathbf u+(\mathbf v+\mathbf w)=(x_1,(y_1+y_2)+y_3,\dots)
    coincide com (\mathbf u+\mathbf v)+\mathbf w pois a soma em \mathbb{R} é associativa.

Passo 3

Existência de elemento neutro e inverso aditivo:
  • Neutro: \mathbf0=(0,0,0) satisfaz \mathbf u+\mathbf0=\mathbf u.
  • Inverso: para \mathbf u=(x,y,z), o vetor -\mathbf u=(-x,-y,-z) está em \mathbb{R}^3 e
    \mathbf u+(-\mathbf u)=(0,0,0)=\mathbf0.

Passo 4

Propriedades básicas da multiplicação por escalar:
  • Fechamento: se \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf u=(x,y,z), então
    \alpha\mathbf u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z)\in\mathbb{R}^3.
  • Identidade escalar: 1\cdot\mathbf u=(1\cdot x,1\cdot y,1\cdot z)=\mathbf u.
  • Compatibilidade com produto de escalares:
    \alpha(\beta\mathbf u)=(\alpha(\beta x),\alpha(\beta y),\alpha(\beta z))=((\alpha\beta)x,\dots)=(\alpha\beta)\mathbf u.

Passo 5

Distributividade:
  • Sobre a soma de vetores:
    \alpha(\mathbf u+\mathbf v) =\alpha(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) =(\alpha x_1+\alpha x_2,\dots) =\alpha\mathbf u+\alpha\mathbf v.
  • Sobre a soma de escalares:
    (\alpha+\beta)\mathbf u =((\alpha+\beta)x,(\alpha+\beta)y,(\alpha+\beta)z) =(\alpha x+\beta x,\dots) =\alpha\mathbf u+\beta\mathbf u.

Resposta

Como todas as propriedades de adição e de multiplicação por escalar estão satisfeitas, concluímos que \mathbb{R}^3 é de fato um espaço vetorial real com as operações dadas.

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