Coloque cada número do seu RA sobre um papel (se tiver vários números iguais, são tantos papeis), e sorteie dois deles. Calcule a probabilidade que a soma seja par se
- O sorteio for feito em duas etapas com reposição
- O sorteio for feito em duas etapas sem reposição
- De uma vez.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a soma de dois números sorteados seja par nas três situações seguintes:
- Sorteio em duas etapas com reposição.
- Sorteio em duas etapas sem reposição.
- Sorteio dos dois papéis de uma vez (simultâneo).
Informações fornecidas e convenções que vou usar (tudo que preciso está no enunciado):
- Você coloca cada número do seu RA em um papel; se um número aparece repetido no RA, há tantos papéis iguais quantas vezes esse número aparece.
- Seja
o número total de papéis (número total de dígitos do RA, contando repetições). - Seja
a quantidade de papéis com números pares. - Seja
a quantidade de papéis com números ímpares. - Temos a relação óbvia
.
As três probabilidades pedidas devem ser expressas em função de
,
e
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Regra básica sobre paridade (o conceito que precisamos dominar):
- A soma de dois números é par exatamente quando os dois têm a mesma paridade, ou seja, quando os dois são pares ou quando os dois são ímpares.
Explicando: par + par = par; ímpar + ímpar = par; par + ímpar = ímpar.
Portanto, para a soma ser par, só há duas situações favoráveis: (i) ambos pares, ou (ii) ambos ímpares.
Passo 3
Vou definir probabilidades simples por sorteio único (estas são apenas notações úteis):
- Probabilidade de, num sorteio aleatório de um papel, sair um número par:
. - Probabilidade de sair um número ímpar:
.
Note que.
Passo 4
Quando o sorteio é com reposição, o primeiro sorteio não altera a composição dos papéis para o segundo sorteio. Os dois sorteios são independentes.
Probabilidade de ambos pares: .
Probabilidade de ambos ímpares: .
Como eventos “ambos pares” e “ambos ímpares” são disjuntos, a probabilidade total de soma par é a soma:
Probabilidade de ambos pares:
Probabilidade de ambos ímpares:
Como eventos “ambos pares” e “ambos ímpares” são disjuntos, a probabilidade total de soma par é a soma:
Intuição: você calcula a chance de par no primeiro sorteio e multiplica pela chance de par no segundo (mesmo raciocínio para ímpar).
Passo 5
Agora, sem reposição, o segundo sorteio é dependente do primeiro (porque retiramos um papel). Vou tratar os sorteios como ordenados (1º e 2º), calcular a probabilidade e simplificar.
Probabilidade de ambos pares (1º par e 2º par):
Probabilidade de ambos pares (1º par e 2º par):
Probabilidade de ambos ímpares (1º ímpar e 2º ímpar):
Somando as duas situações favoráveis, obtemos
Observação: essa expressão é a probabilidade quando consideramos ordem nos sorteios. Ela já é a resposta para “sem reposição” se o sorteio for feito em duas etapas (ordem natural de retirada).
Passo 6
Quando os dois papéis são sorteados de uma vez e não nos importamos com a ordem, é natural contar pares como combinações.
Número de pares favoráveis = número de pares de pares + número de pares de ímpares = .
Número total de pares possíveis = .
Logo a probabilidade é
Número de pares favoráveis = número de pares de pares + número de pares de ímpares =
Número total de pares possíveis =
Logo a probabilidade é
Agora observe que
e
, então a fração acima simplifica exatamente para
Portanto, a probabilidade de “de uma vez” (sorteio simultâneo, sem ordem) é numericamente igual àquela do passo anterior (sem reposição) — isso faz sentido porque sem reposição e desprezando ordem, os modelos coincidem.
Passo 7
Suponha que, contando repetições,
,
(três papéis com números pares) e
. Então:
- Com reposição:
. - Sem reposição (ou de uma vez):
.
Note como a presença/ausência de reposição muda a probabilidade: com reposição as probabilidades dos eventos se mantêm iguais nos dois sorteios; sem reposição as probabilidades se ajustam no segundo sorteio.
Resposta
Com reposição:
Sem reposição:
De uma vez:
Sem reposição:
De uma vez: