Coloque cada número do seu RA sobre um papel (se tiver vários números iguais, são tantos papeis), e sorteie dois deles. Calcule a probabilidade que a soma seja par se
  • O sorteio for feito em duas etapas com reposição
  • O sorteio for feito em duas etapas sem reposição
  • De uma vez.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a soma de dois números sorteados seja par nas três situações seguintes:
  1. Sorteio em duas etapas com reposição.
  2. Sorteio em duas etapas sem reposição.
  3. Sorteio dos dois papéis de uma vez (simultâneo).
Informações fornecidas e convenções que vou usar (tudo que preciso está no enunciado):
  • Você coloca cada número do seu RA em um papel; se um número aparece repetido no RA, há tantos papéis iguais quantas vezes esse número aparece.
  • Seja n o número total de papéis (número total de dígitos do RA, contando repetições).
  • Seja e a quantidade de papéis com números pares.
  • Seja o a quantidade de papéis com números ímpares.
  • Temos a relação óbvia \;n=e+o\;.
As três probabilidades pedidas devem ser expressas em função de e, o e n. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Regra básica sobre paridade (o conceito que precisamos dominar):
  • A soma de dois números é par exatamente quando os dois têm a mesma paridade, ou seja, quando os dois são pares ou quando os dois são ímpares.
    Explicando: par + par = par; ímpar + ímpar = par; par + ímpar = ímpar.
    Portanto, para a soma ser par, só há duas situações favoráveis: (i) ambos pares, ou (ii) ambos ímpares.

Passo 3

Vou definir probabilidades simples por sorteio único (estas são apenas notações úteis):
  • Probabilidade de, num sorteio aleatório de um papel, sair um número par: \displaystyle p_e=\frac{e}{n}.
  • Probabilidade de sair um número ímpar: \displaystyle p_o=\frac{o}{n}.
    Note que p_e+p_o=1.

Passo 4

Quando o sorteio é com reposição, o primeiro sorteio não altera a composição dos papéis para o segundo sorteio. Os dois sorteios são independentes.
Probabilidade de ambos pares: \displaystyle p_e\cdot p_e=\left(\frac{e}{n}\right)^2.
Probabilidade de ambos ímpares: \displaystyle p_o\cdot p_o=\left(\frac{o}{n}\right)^2.
Como eventos “ambos pares” e “ambos ímpares” são disjuntos, a probabilidade total de soma par é a soma:
\left(\frac{e}{n}\right)^2+\left(\frac{o}{n}\right)^2.
Intuição: você calcula a chance de par no primeiro sorteio e multiplica pela chance de par no segundo (mesmo raciocínio para ímpar).

Passo 5

Agora, sem reposição, o segundo sorteio é dependente do primeiro (porque retiramos um papel). Vou tratar os sorteios como ordenados (1º e 2º), calcular a probabilidade e simplificar.
Probabilidade de ambos pares (1º par e 2º par):
\frac{e}{n}\cdot\frac{e-1}{n-1}.
Probabilidade de ambos ímpares (1º ímpar e 2º ímpar):
\frac{o}{n}\cdot\frac{o-1}{n-1}.
Somando as duas situações favoráveis, obtemos
\frac{e}{n}\cdot\frac{e-1}{n-1}+\frac{o}{n}\cdot\frac{o-1}{n-1} =\frac{e(e-1)+o(o-1)}{n(n-1)}.
Observação: essa expressão é a probabilidade quando consideramos ordem nos sorteios. Ela já é a resposta para “sem reposição” se o sorteio for feito em duas etapas (ordem natural de retirada).

Passo 6

Quando os dois papéis são sorteados de uma vez e não nos importamos com a ordem, é natural contar pares como combinações.
Número de pares favoráveis = número de pares de pares + número de pares de ímpares = \displaystyle \binom{e}{2}+\binom{o}{2}.
Número total de pares possíveis = \displaystyle \binom{n}{2}.
Logo a probabilidade é
\frac{\binom{e}{2}+\binom{o}{2}}{\binom{n}{2}}.
Agora observe que \displaystyle \binom{e}{2}=\frac{e(e-1)}{2} e \displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}, então a fração acima simplifica exatamente para
\frac{e(e-1)+o(o-1)}{n(n-1)}.
Portanto, a probabilidade de “de uma vez” (sorteio simultâneo, sem ordem) é numericamente igual àquela do passo anterior (sem reposição) — isso faz sentido porque sem reposição e desprezando ordem, os modelos coincidem.

Passo 7

Suponha que, contando repetições, n=5, e=3 (três papéis com números pares) e o=2. Então:
  • Com reposição: \left(\tfrac{3}{5}\right)^2+\left(\tfrac{2}{5}\right)^2=\tfrac{9}{25}+\tfrac{4}{25}=\tfrac{13}{25}=0{,}52.
  • Sem reposição (ou de uma vez): \dfrac{3\cdot2+2\cdot1}{5\cdot4}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}=0{,}4.
    Note como a presença/ausência de reposição muda a probabilidade: com reposição as probabilidades dos eventos se mantêm iguais nos dois sorteios; sem reposição as probabilidades se ajustam no segundo sorteio.

Resposta

Com reposição: \left(\dfrac{e}{n}\right)^2+\left(\dfrac{o}{n}\right)^2
Sem reposição: \dfrac{e(e-1)+o(o-1)}{n(n-1)}
De uma vez: \dfrac{\binom{e}{2}+\binom{o}{2}}{\binom{n}{2}} = \dfrac{e(e-1)+o(o-1)}{n(n-1)}

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