Estão duas moedas numa urna. Uma equilibrada e outra com probabilidade 0.9 de dar cara. Sorteio uma ao acaso, e lanço ela 5 vezes. Qual é a probabilidade de obter 3 caras?
Passo 1
O enunciado diz: há duas moedas numa urna — uma moeda equilibrada (probabilidade de cara igual a
) e outra moeda enviesada com probabilidade de cara igual a
. Eu escolho uma moeda ao acaso (logo a probabilidade de escolher cada moeda é
) e a lanço
vezes. A pergunta é: qual é a probabilidade de obter exatamente
caras nas
lançamentos?
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Princípio a usar: quando há incerteza sobre qual moeda foi escolhida, usamos a regra da probabilidade total (ou soma ponderada das probabilidades condicionais). Formalmente,
Aqui
.
Vou então calcular as probabilidades condicionais de obter exatamente
caras quando a moeda é conhecida (cada uma delas), e depois combinar conforme a fórmula acima.
Passo 3
Ferramenta que vamos usar para cada moeda: distribuição binomial. Explicando devagarinho: quando temos
lançamentos independentes de uma moeda onde cada lançamento tem probabilidade
de dar cara, a probabilidade de obter exatamente
caras é
O que significa cada parte:
-
é o número de maneiras de escolher quais lançamentos entre os são caras (combinações). -
é a probabilidade de que esses lançamentos escolhidos sejam todos caras. -
é a probabilidade de que os outros lançamentos sejam coroas.
Exemplo rápido: parae , porque a cara pode ocorrer no 1º, 2º ou 3º lançamento; cada configuração tem probabilidade , somando dá a fórmula acima.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula binomial com
,
,
.
Primeiro a combinação:
Primeiro a combinação:
Agora a probabilidade:
Calculemos:
Em notação pedida:
Passo 5
Calcular
com
.
Usando a mesma combinação ,
Usando a mesma combinação
Agora as potências:
Multiplicando:
Logo
Passo 6
Agora aplico a regra da probabilidade total combinando as duas condicionais com os pesos
:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 7
Interpretação rápida e dica de prova: a resposta é uma média ponderada das duas probabilidades binomiais. Na prova, calcule rapidamente a binomial para cada hipótese da moeda e depois faça a média com pesos
. Se precisar de aproximação, três casas decimais já costumam bastar, mas aqui deu exatamente
com quatro casas depois da vírgula.