Estão duas moedas numa urna. Uma equilibrada e outra com probabilidade 0.9 de dar cara. Sorteio uma ao acaso, e lanço ela 5 vezes. Qual é a probabilidade de obter 3 caras?

Passo 1

O enunciado diz: há duas moedas numa urna — uma moeda equilibrada (probabilidade de cara igual a \tfrac{1}{2}) e outra moeda enviesada com probabilidade de cara igual a 0,9. Eu escolho uma moeda ao acaso (logo a probabilidade de escolher cada moeda é \tfrac{1}{2}) e a lanço 5 vezes. A pergunta é: qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras nas 5 lançamentos?
Informações relevantes dadas:
\text{Probabilidade de escolher a moeda equilibrada} = \tfrac{1}{2}
\text{Probabilidade de escolher a moeda enviesada} = \tfrac{1}{2}
\text{Número de lançamentos } n = 5úç
\text{Número de caras desejado } k = 3ú
\text{Probabilidade de cara na moeda equilibrada } p_1 = \tfrac{1}{2}
\text{Probabilidade de cara na moeda enviesada } p_2 = 0,9

Passo 2

Princípio a usar: quando há incerteza sobre qual moeda foi escolhida, usamos a regra da probabilidade total (ou soma ponderada das probabilidades condicionais). Formalmente,
P(\text{3 caras}) = P(\text{3 caras}\mid \text{moeda equilibrada})\cdot P(\text{equilibrada}) + P(\text{3 caras}\mid \text{moeda enviesada})\cdot P(\text{enviesada}).
Aqui P(\text{equilibrada}) = P(\text{enviesada}) = \tfrac{1}{2}.
Vou então calcular as probabilidades condicionais de obter exatamente 3 caras quando a moeda é conhecida (cada uma delas), e depois combinar conforme a fórmula acima.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar para cada moeda: distribuição binomial. Explicando devagarinho: quando temos n lançamentos independentes de uma moeda onde cada lançamento tem probabilidade p de dar cara, a probabilidade de obter exatamente k caras é
P(\text{exatamente }k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
O que significa cada parte:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k lançamentos entre os n são caras (combinações).
  • p^{k} é a probabilidade de que esses k lançamentos escolhidos sejam todos caras.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de que os outros n-k lançamentos sejam coroas.
    Exemplo rápido: para n=3 e k=1, \binom{3}{1}=3 porque a cara pode ocorrer no 1º, 2º ou 3º lançamento; cada configuração tem probabilidade p(1-p)^2, somando dá a fórmula acima.

Passo 4

Calcular P(\text{3 caras}\mid \text{moeda equilibrada}) usando a fórmula binomial com n=5, k=3, p=\tfrac{1}{2}.
Primeiro a combinação:
\binom{5}{3} = 10.
Agora a probabilidade:
P(\text{3}\mid \text{equilibrada}) = 10\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = 10\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}.
Calculemos:
10\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5} = \tfrac{10}{32} = \tfrac{5}{16} = 0,3125.
Em notação pedida:
P(\text{3}\mid \text{equilibrada}) = 0,3125.

Passo 5

Calcular P(\text{3 caras}\mid \text{moeda enviesada}) com p=0,9.
Usando a mesma combinação \binom{5}{3}=10,
P(\text{3}\mid \text{enviesada}) = 10\,(0,9)^{3}\,(0,1)^{2}.
Agora as potências:
(0,9)^{3} = 0,9\cdot 0,9\cdot 0,9 = 0,729,
(0,1)^{2} = 0,01.
Multiplicando:
10\cdot 0,729\cdot 0,01 = 10\cdot 0,00729 = 0,0729.
Logo
P(\text{3}\mid \text{enviesada}) = 0,0729.

Passo 6

Agora aplico a regra da probabilidade total combinando as duas condicionais com os pesos \tfrac{1}{2}:
P(\text{3 caras}) = \tfrac{1}{2}\cdot 0,3125 + \tfrac{1}{2}\cdot 0,0729.
Calcule cada termo:
\tfrac{1}{2}\cdot 0,3125 = 0,15625,
\tfrac{1}{2}\cdot 0,0729 = 0,03645.
Somando:
P(\text{3 caras}) = 0,15625 + 0,03645 = 0,1927.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova: a resposta é uma média ponderada das duas probabilidades binomiais. Na prova, calcule rapidamente a binomial para cada hipótese da moeda e depois faça a média com pesos \tfrac{1}{2}. Se precisar de aproximação, três casas decimais já costumam bastar, mas aqui deu exatamente 0,1927 com quatro casas depois da vírgula.

Resposta

0,1927

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