Sejam quatro urnas com bolas coloridas, contendo 10 bolas cada uma. A tabela abaixo discrimina a composição das urnas. Escolheu-se arbitrariamente uma das urnas e extraiu-se uma bola. Se a bola é vermelha, qual a probabilidade de ter sido extraída da urna B? Resp: p = 6/15
\begin{tabular}{lrrrr}
\hline \multicolumn{5}{c}{ Cor da bola } \
\hline & Vermelha & Branca & Azul & \multicolumn{1}{c}{ Totais } \
\hline A & 1 & 6 & 3 & 10 \
B & 6 & 2 & 2 & 10 \
C & 8 & 1 & 1 & 10 \
D & 0 & 6 & 4 & 10 \
\hline
\hline \multicolumn{5}{c}{ Cor da bola } \
\hline & Vermelha & Branca & Azul & \multicolumn{1}{c}{ Totais } \
\hline A & 1 & 6 & 3 & 10 \
B & 6 & 2 & 2 & 10 \
C & 8 & 1 & 1 & 10 \
D & 0 & 6 & 4 & 10 \
\hline
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se a bola é vermelha, qual a probabilidade de ter sido extraída da urna B?”\n
Informações dadas (da tabela):\n
Informações dadas (da tabela):\n
- Urna A:
Vermelhas , Brancas , Azuis , Total \n - Urna B:
Vermelhas , Brancas , Azuis , Total \n - Urna C:
Vermelhas , Brancas , Azuis , Total \n - Urna D:
Vermelhas , Brancas , Azuis , Total \n
Processo de escolha (informação importante): escolheu-se arbitrariamente uma das urnas e então extraiu-se uma bola. Ou seja, primeiro se escolhe uma urna entre as quatro (sem preferência) e depois se escolhe uma bola dessa urna.\n
O que precisamos calcular: a probabilidade condicional, isto é, a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a urna dado que a bola extraída é vermelha.
Passo 2
Definimos os eventos claramente (para não confundir na prova):\n
-
= “a urna escolhida foi a urna B”\n -
= “a bola extraída é vermelha”\n
A probabilidade que queremos é.\n
Explicando a ideia intuitiva:responde “entre todos os jeitos de obter uma bola vermelha, em que fração desses jeitos a urna escolhida foi B?”. Dá para resolver isso por probabilidade condicional formal (Teorema de Bayes) ou por contagem direta de casos igualmente prováveis — eu vou mostrar os dois jeitos.
Passo 3
Apresentando o Teorema de Bayes (fórmula fundamental para esse tipo de pergunta):\n
Aqui cada termo significa:\n
-
: probabilidade de tirar uma vermelho dado que a urna é (chama-se verossimilhança).\n -
: probabilidade de escolher a urna antes de ver a cor (prior). Como a urna foi escolhida arbitrariamente entre quatro, .\n -
: probabilidade total de sair vermelho (é a soma das contribuições de cada urna), dada por
Passo 4
Calculemos os
(probabilidades de retirar vermelho dentro de cada urna):\n
- Para a urna
: há bola vermelha em , então .\n - Para a urna
: há bolas vermelhas em , então .\n - Para a urna
: .\n - Para a urna
: .\n
E os priors são todos iguais:.
Passo 5
Calculamos o numerador da fórmula de Bayes:
.\n
Passo 6
Calculamos
(denominador), somando as contribuições de todas as urnas:\n
Primeiro somamos os numeradores das frações dentro do parêntese:
, então\n
Passo 7
Agora aplicamos Bayes e simplificamos:\n
Observação:
(multiplicando numerador e denominador por
), então a fração dada na resposta do enunciado está correta.
Passo 8
Solução alternativa (mais direta e muito boa para a prova — contagem de casos igualmente prováveis):\n
Pensando nos pares “escolher uma urna” + “escolher uma bola” temos urnas
bolas
resultados igualmente prováveis. Desses:\n
Pensando nos pares “escolher uma urna” + “escolher uma bola” temos
- Quantos resultados correspondem a “urna B e bola vermelha”? São as
bolas vermelhas da urna , ou seja resultados.\n - Quantos resultados correspondem a “bola vermelha” (de qualquer urna)? Soma das vermelhas em todas as urnas:
resultados.\n
Logo a probabilidade condicional é(fazer: número de casos “B e vermelho” dividido por número de casos “vermelho”), exatamente o mesmo resultado que obtivemos por Bayes.\n
Essa visão por contagem é ótima na prova porque evita frações compostas: conte os casos favoráveis e os casos possíveis condicionados.
Passo 9
Resumo final e dica para a prova: usar Bayes é sistemático; usar contagem direta (como fizemos no Passo 8) é mais rápido quando os resultados são igualmente prováveis como aqui. Em qualquer um dos dois jeitos a resposta é a mesma:
. Vai dar certo — respira, faz o desenho da tabela, conta vermelhas e compara!