Sejam quatro urnas com bolas coloridas, contendo 10 bolas cada uma. A tabela abaixo discrimina a composição das urnas. Escolheu-se arbitrariamente uma das urnas e extraiu-se uma bola. Se a bola é vermelha, qual a probabilidade de ter sido extraída da urna B? Resp: p = 6/15
\begin{tabular}{lrrrr}
\hline \multicolumn{5}{c}{ Cor da bola } \
\hline & Vermelha & Branca & Azul & \multicolumn{1}{c}{ Totais } \
\hline A & 1 & 6 & 3 & 10 \
B & 6 & 2 & 2 & 10 \
C & 8 & 1 & 1 & 10 \
D & 0 & 6 & 4 & 10 \
\hline

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se a bola é vermelha, qual a probabilidade de ter sido extraída da urna B?”\n
Informações dadas (da tabela):\n
  • Urna A: Vermelhas =1, Brancas =6, Azuis =3, Total =10\n
  • Urna B: Vermelhas =6, Brancas =2, Azuis =2, Total =10\n
  • Urna C: Vermelhas =8, Brancas =1, Azuis =1, Total =10\n
  • Urna D: Vermelhas =0, Brancas =6, Azuis =4, Total =10\n
    Processo de escolha (informação importante): escolheu-se arbitrariamente uma das urnas e então extraiu-se uma bola. Ou seja, primeiro se escolhe uma urna entre as quatro (sem preferência) e depois se escolhe uma bola dessa urna.\n
    O que precisamos calcular: a probabilidade condicional P(B\mid R), isto é, a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a urna B dado que a bola extraída é vermelha.

Passo 2

Definimos os eventos claramente (para não confundir na prova):\n
  • B = “a urna escolhida foi a urna B”\n
  • R = “a bola extraída é vermelha”\n
    A probabilidade que queremos é P(B\mid R).\n
    Explicando a ideia intuitiva: P(B\mid R) responde “entre todos os jeitos de obter uma bola vermelha, em que fração desses jeitos a urna escolhida foi B?”. Dá para resolver isso por probabilidade condicional formal (Teorema de Bayes) ou por contagem direta de casos igualmente prováveis — eu vou mostrar os dois jeitos.

Passo 3

Apresentando o Teorema de Bayes (fórmula fundamental para esse tipo de pergunta):\n
P(B\mid R)=\frac{P(R\mid B)\,P(B)}{P(R)}
Aqui cada termo significa:\n
  • P(R\mid B): probabilidade de tirar uma vermelho dado que a urna é B (chama-se verossimilhança).\n
  • P(B): probabilidade de escolher a urna B antes de ver a cor (prior). Como a urna foi escolhida arbitrariamente entre quatro, P(B)=\dfrac{1}{4}.\n
  • P(R): probabilidade total de sair vermelho (é a soma das contribuições de cada urna), dada por
P(R)=\sum_{U\in\{A,B,C,D\}} P(R\mid U)\,P(U).

Passo 4

Calculemos os P(R\mid U) (probabilidades de retirar vermelho dentro de cada urna):\n
  • Para a urna A: há 1 bola vermelha em 10, então P(R\mid A)=\dfrac{1}{10}.\n
  • Para a urna B: há 6 bolas vermelhas em 10, então P(R\mid B)=\dfrac{6}{10}.\n
  • Para a urna C: P(R\mid C)=\dfrac{8}{10}.\n
  • Para a urna D: P(R\mid D)=\dfrac{0}{10}=0.\n
    E os priors são todos iguais: P(A)=P(B)=P\text{(C)}=P(D)=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Calculamos o numerador da fórmula de Bayes: P(R\mid B)\,P(B).\n
P(R\mid B)\,P(B)=\frac{6}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}.

Passo 6

Calculamos P(R) (denominador), somando as contribuições de todas as urnas:\n
P(R)=\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+\frac{0}{10}\right)\cdot\frac{1}{4}
Primeiro somamos os numeradores das frações dentro do parêntese: 1+6+8+0=15, então\n
P(R)=\frac{15}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}.

Passo 7

Agora aplicamos Bayes e simplificamos:\n
P(B\mid R)=\frac{\dfrac{3}{20}}{\dfrac{3}{8}}=\frac{3}{20}\cdot\frac{8}{3}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}.
Observação: \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{15} (multiplicando numerador e denominador por 3), então a fração dada na resposta do enunciado está correta.

Passo 8

Solução alternativa (mais direta e muito boa para a prova — contagem de casos igualmente prováveis):\n
Pensando nos pares “escolher uma urna” + “escolher uma bola” temos 4 urnas \times 10 bolas = 40 resultados igualmente prováveis. Desses:\n
  • Quantos resultados correspondem a “urna B e bola vermelha”? São as 6 bolas vermelhas da urna B, ou seja 6 resultados.\n
  • Quantos resultados correspondem a “bola vermelha” (de qualquer urna)? Soma das vermelhas em todas as urnas: 1+6+8+0=15 resultados.\n
    Logo a probabilidade condicional é \dfrac{6}{15} (fazer: número de casos “B e vermelho” dividido por número de casos “vermelho”), exatamente o mesmo resultado que obtivemos por Bayes.\n
    Essa visão por contagem é ótima na prova porque evita frações compostas: conte os casos favoráveis e os casos possíveis condicionados.

Passo 9

Resumo final e dica para a prova: usar Bayes é sistemático; usar contagem direta (como fizemos no Passo 8) é mais rápido quando os resultados são igualmente prováveis como aqui. Em qualquer um dos dois jeitos a resposta é a mesma: P(B\mid R)=\dfrac{6}{15}. Vai dar certo — respira, faz o desenho da tabela, conta vermelhas e compara!

Resposta

p=\dfrac{6}{15}

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