Coloque (V) diante das afirmativas verdadeiras e (F) diante das falsas. Justifique as respostas falsas.
( ) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores Discrepantes.
( ) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
( ) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana ( ) Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas. Os resultados foram:
Tempo (min):
Temperatura (
):
De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.
( ) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores Discrepantes.
( ) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
( ) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana ( ) Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas. Os resultados foram:
Temperatura (
De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.
Passo 1
Aqui estão as quatro afirmativas que precisamos avaliar (vou reproduzi-las exatamente para ficar claro o que cada linha pergunta):
(1) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores discrepantes.
(2) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
(3) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana.
(4) Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas. Os resultados foram:
Tempo (min):
Temperatura ( ):
Afirmativa: “De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.”
(1) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores discrepantes.
(2) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
(3) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana.
(4) Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas. Os resultados foram:
Tempo (min):
Temperatura (
Afirmativa: “De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.”
Observação importante sobre os dados de temperatura: o enunciado textual parece conter um erro de digitação: aparece o bloco
que junta “75” e “80” em “7580” e deixa só quatro entradas escritas. Como há cinco tempos, vou assumir a interpretação mais razoável que produz cinco temperaturas:
. Aviso que não tenho certeza absoluta disso, mas essa suposição é a mais lógica para continuar a análise. Se a sua lista de temperaturas for diferente, avise e eu refaço as contas.
Passo 2
Analisando a afirmativa (1). Primeiro, o que é média aritmética? A média aritmética de uma amostra de
valores
é
Explicação didática: a média soma todos os valores e divide pelo número de valores — ela “espalha” igualmente o total entre as observações. Por causa dessa soma, um único valor muito grande ou muito pequeno (um valor discrepante / outlier) muda a soma de forma direta e, portanto, altera a média.
Exemplo simples para ver o efeito: considere os valores . A média é
Exemplo simples para ver o efeito: considere os valores
Se eu substituir o último valor por um outlier
, a média vira
ou seja, mudou muito. Logo a média sofre influência de valores discrepantes. Conclusão: a afirmativa (1) é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa (2). Primeiro, o que é coeficiente de variação (CV)? Para uma amostra com média
e desvio-padrão amostral
, o coeficiente de variação é
Explicação didática:
mede a dispersão absoluta (em unidades da variável), enquanto
mede o nível médio. Dividindo
por
obtemos uma medida adimensional (sem unidade) que diz “quanta variabilidade existe proporcionalmente ao tamanho médio”. Por isso o CV é apropriado para comparar variabilidades de duas variáveis que estão em unidades diferentes (por exemplo, kg e metros) — porque o CV elimina as unidades. Observação: cuidado quando
estiver muito próximo de zero (a razão fica instável). Mas, em condições normais, a afirmativa (2) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa (3). O que significa “distribuição simétrica”? Informalmente, uma distribuição é simétrica em torno de um ponto
quando a parte à esquerda é espelho da parte à direita; para distribuições simétricas bem comportadas vale que a média e a mediana coincidem com o ponto de simetria:
. A moda pode coincidir com esses valores, mas nem sempre — porém não existe uma regra “moda > média > mediana” fixa para uma simétrica. Na prática, para distribuições perfeitamente simétricas e unimodais típicas temos
. Portanto a cadeia “moda maior que média maior que mediana” contradiz a propriedade básica da simetria e é falsa. Conclusão: a afirmativa (3) é falsa.
Passo 5
Agora a afirmativa (4): comparar a variabilidade entre tempo e temperatura usando os dados (com a suposição de temperatura feita no Passo 1). Como queremos comparar variabilidade entre duas variáveis com unidades diferentes, usamos o coeficiente de variação (
), que torna a comparação justa. Vou calcular passo a passo: médias, desvios-padrão amostrais e CVs.
Fórmulas que vou usar (explicadas):
- Média amostral:
. Aqui é o número de observações e cada observação. - Variância amostral (estimador clássico):
. Usamos no denominador para obter o estimador amostral não viciado. - Desvio-padrão amostral:
. - Coeficiente de variação:
(às vezes multiplicado por para expressar em porcentagem).
Passo 6
Cálculo para os tempos (dados:
).
.
Média:
Desvios e quadrados (vou mostrar cada passo):
Soma dos quadrados das diferenças:
Variância amostral:
Desvio-padrão amostral:
Coeficiente de variação:
Passo 7
Cálculo para as temperaturas (assumidas:
).
.
Média:
Desvios e quadrados:
Soma dos quadrados:
Variância amostral:
Desvio-padrão amostral:
Coeficiente de variação:
Passo 8
Comparação e conclusão para a afirmativa (4). Temos:
Interpretação didática: como
é maior que
, os tempos têm maior variabilidade relativa ao seu nível médio do que as temperaturas. Portanto a afirmativa “a variável temperatura apresentou maior variabilidade” é falsa (com a suposição de temperaturas que fiz). Se as temperaturas no enunciado fossem outras, o resultado pode mudar — por isso destaquei a suposição no Passo 1.
Passo 9
Resumo das justificativas das afirmativas falsas (pedidas no enunciado):
- (1) Falsa: a média aritmética é sensível a valores discrepantes porque soma todos os valores; um outlier altera a soma e, consequentemente, a média. Dei um exemplo numérico que mostra a mudança grande na média quando um valor é trocado por um outlier.
- (3) Falsa: em distribuições simétricas a média e a mediana coincidem (e muitas vezes igualam a moda em casos unimodais), portanto não existe a ordem “moda > média > mediana” como regra para simétricas.
- (4) Falsa (com a suposição indicada): os cálculos mostram
e , então os tempos são relativamente mais variáveis; a temperatura não apresentou maior variabilidade.
Resposta
(F) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores discrepantes.
(V) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
(F) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana.
(F) De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.
(V) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
(F) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana.
(F) De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.