Coloque (V) diante das afirmativas verdadeiras e (F) diante das falsas. Justifique as respostas falsas.
( ) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores Discrepantes.
( ) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
( ) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana ( ) Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas. Os resultados foram:
Tempo (min): \quad \begin{array}{lllll}20 & 22 & 19 & 23 & 17\end{array}
Temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} ): 7580 \quad 75 \quad 82 \quad 78
De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.

Passo 1

Aqui estão as quatro afirmativas que precisamos avaliar (vou reproduzi-las exatamente para ficar claro o que cada linha pergunta):
(1) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores discrepantes.
(2) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
(3) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana.
(4) Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas. Os resultados foram:
Tempo (min): \;20,\;22,\;19,\;23,\;17
Temperatura ( ^{\circ}\mathrm{C}): \;7580\quad75\quad82\quad78
Afirmativa: “De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.”
Observação importante sobre os dados de temperatura: o enunciado textual parece conter um erro de digitação: aparece o bloco \;7580\quad75\quad82\quad78 que junta “75” e “80” em “7580” e deixa só quatro entradas escritas. Como há cinco tempos, vou assumir a interpretação mais razoável que produz cinco temperaturas: \;75,\;80,\;75,\;82,\;78. Aviso que não tenho certeza absoluta disso, mas essa suposição é a mais lógica para continuar a análise. Se a sua lista de temperaturas for diferente, avise e eu refaço as contas.

Passo 2

Analisando a afirmativa (1). Primeiro, o que é média aritmética? A média aritmética de uma amostra de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Explicação didática: a média soma todos os valores e divide pelo número de valores — ela “espalha” igualmente o total entre as observações. Por causa dessa soma, um único valor muito grande ou muito pequeno (um valor discrepante / outlier) muda a soma de forma direta e, portanto, altera a média.
Exemplo simples para ver o efeito: considere os valores \;1,\;2,\;3. A média é
\bar{x}=\frac{1+2+3}{3}=2.
Se eu substituir o último valor por um outlier 100, a média vira
\bar{x}=\frac{1+2+100}{3}=\frac{103}{3}\approx34{,}33,
ou seja, mudou muito. Logo a média sofre influência de valores discrepantes. Conclusão: a afirmativa (1) é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa (2). Primeiro, o que é coeficiente de variação (CV)? Para uma amostra com média \bar{x} e desvio-padrão amostral s, o coeficiente de variação é
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}.
Explicação didática: s mede a dispersão absoluta (em unidades da variável), enquanto \bar{x} mede o nível médio. Dividindo s por \bar{x} obtemos uma medida adimensional (sem unidade) que diz “quanta variabilidade existe proporcionalmente ao tamanho médio”. Por isso o CV é apropriado para comparar variabilidades de duas variáveis que estão em unidades diferentes (por exemplo, kg e metros) — porque o CV elimina as unidades. Observação: cuidado quando \bar{x} estiver muito próximo de zero (a razão fica instável). Mas, em condições normais, a afirmativa (2) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa (3). O que significa “distribuição simétrica”? Informalmente, uma distribuição é simétrica em torno de um ponto m quando a parte à esquerda é espelho da parte à direita; para distribuições simétricas bem comportadas vale que a média e a mediana coincidem com o ponto de simetria: \bar{x}=\text{mediana}=m. A moda pode coincidir com esses valores, mas nem sempre — porém não existe uma regra “moda > média > mediana” fixa para uma simétrica. Na prática, para distribuições perfeitamente simétricas e unimodais típicas temos \text{moda}=\text{mediana}=\text{média}é. Portanto a cadeia “moda maior que média maior que mediana” contradiz a propriedade básica da simetria e é falsa. Conclusão: a afirmativa (3) é falsa.

Passo 5

Agora a afirmativa (4): comparar a variabilidade entre tempo e temperatura usando os dados (com a suposição de temperatura feita no Passo 1). Como queremos comparar variabilidade entre duas variáveis com unidades diferentes, usamos o coeficiente de variação ( \mathrm{CV}), que torna a comparação justa. Vou calcular passo a passo: médias, desvios-padrão amostrais e CVs.
Fórmulas que vou usar (explicadas):
  • Média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i. Aqui n é o número de observações e x_i cada observação.
  • Variância amostral (estimador clássico): \displaystyle s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}. Usamos n-1 no denominador para obter o estimador amostral não viciado.
  • Desvio-padrão amostral: s=\sqrt{s^{2}}.
  • Coeficiente de variação: \displaystyle \mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}} (às vezes multiplicado por 100\% para expressar em porcentagem).

Passo 6

Cálculo para os tempos (dados: \;20,\;22,\;19,\;23,\;17). n=5.
Média:
\bar{t}=\frac{20+22+19+23+17}{5}=\frac{101}{5}=20{,}2.
Desvios e quadrados (vou mostrar cada passo):
\begin{array}{lcl} 20-20{,}2=-0{,}2 &\Rightarrow& (-0{,}2)^2=0{,}04\\\\ 22-20{,}2=1{,}8 &\Rightarrow& (1{,}8)^2=3{,}24\\\\ 19-20{,}2=-1{,}2 &\Rightarrow& (-1{,}2)^2=1{,}44\\\\ 23-20{,}2=2{,}8 &\Rightarrow& (2{,}8)^2=7{,}84\\\\ 17-20{,}2=-3{,}2 &\Rightarrow& (-3{,}2)^2=10{,}24 \end{array}
Soma dos quadrados das diferenças:
\sum (t_i-\bar{t})^2=0{,}04+3{,}24+1{,}44+7{,}84+10{,}24=22{,}80.
Variância amostral:
s_t^{2}=\frac{22{,}80}{n-1}=\frac{22{,}80}{4}=5{,}70.
Desvio-padrão amostral:
s_t=\sqrt{5{,}70}\approx2{,}387.
Coeficiente de variação:
\mathrm{CV}_t=\frac{s_t}{\bar{t}}=\frac{2{,}387}{20{,}2}\approx0{,}1182\approx11{,}8\%.

Passo 7

Cálculo para as temperaturas (assumidas: \;75,\;80,\;75,\;82,\;78). n=5.
Média:
\bar{T}=\frac{75+80+75+82+78}{5}=\frac{390}{5}=78{,}0.
Desvios e quadrados:
\begin{array}{lcl} 75-78=-3 &\Rightarrow& 9\\\\ 80-78=2 &\Rightarrow& 4\\\\ 75-78=-3 &\Rightarrow& 9\\\\ 82-78=4 &\Rightarrow& 16\\\\ 78-78=0 &\Rightarrow& 0 \end{array}
Soma dos quadrados:
\sum (T_i-\bar{T})^2=9+4+9+16+0=38.
Variância amostral:
s_T^{2}=\frac{38}{n-1}=\frac{38}{4}=9{,}5.
Desvio-padrão amostral:
s_T=\sqrt{9{,}5}\approx3{,}082.
Coeficiente de variação:
\mathrm{CV}_T=\frac{s_T}{\bar{T}}=\frac{3{,}082}{78{,}0}\approx0{,}0395\approx3{,}95\%.

Passo 8

Comparação e conclusão para a afirmativa (4). Temos:
\mathrm{CV}_t\approx11{,}8\%,\qquad \mathrm{CV}_T\approx3{,}95\%.
Interpretação didática: como \mathrm{CV}_t é maior que \mathrm{CV}_T, os tempos têm maior variabilidade relativa ao seu nível médio do que as temperaturas. Portanto a afirmativa “a variável temperatura apresentou maior variabilidade” é falsa (com a suposição de temperaturas que fiz). Se as temperaturas no enunciado fossem outras, o resultado pode mudar — por isso destaquei a suposição no Passo 1.

Passo 9

Resumo das justificativas das afirmativas falsas (pedidas no enunciado):
  • (1) Falsa: a média aritmética é sensível a valores discrepantes porque soma todos os valores; um outlier altera a soma e, consequentemente, a média. Dei um exemplo numérico que mostra a mudança grande na média quando um valor é trocado por um outlier.
  • (3) Falsa: em distribuições simétricas a média e a mediana coincidem (e muitas vezes igualam a moda em casos unimodais), portanto não existe a ordem “moda > média > mediana” como regra para simétricas.
  • (4) Falsa (com a suposição indicada): os cálculos mostram \mathrm{CV}_t\approx11{,}8\% e \mathrm{CV}_T\approx3{,}95\%, então os tempos são relativamente mais variáveis; a temperatura não apresentou maior variabilidade.

Resposta

(F) A média aritmética é uma medida de tendência central que não sofre influência de valores discrepantes.
(V) O coeficiente de variação é bastante útil na comparação da variabilidade de duas variáveis ou grupos de dados que possuem unidades diferentes.
(F) Quando uma distribuição é simétrica, a moda é maior que a média, que é maior que a mediana.
(F) De acordo com os dados, a variável temperatura apresentou maior variabilidade.

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