Uma empresa química afirma que nenhum de seus funcionários estão contaminados por chumbo. Para verificar isto, a empresa fez um exame de rotina em 36 funcionários escolhidos ao acaso. As concentrações obtidas foram:
3,35 3,67 4,27 5,11 5,55 2,83 3,29 3,63 4,15 4,96 5,50 2,81
3,26 3,58 3,94 4,58 5,42 2,52 3,15 3,55 3,90 4,49 5,28 2,32
3,09 3,49 3,82 4,43 5,25 1,53 3,03 3,45 3,76 4,36 5,20 1,28
a) Construa uma tabela de frequência em classes contendo a frequência absoluta simples, frequência absoluta acumulada, frequência relativa simples percentual, frequência acumulada percentual e ponto médio;
b) Para os dados apresentados na tabela construída no item (a), calcule e interprete:
b.1) as medidas de tendência central (média, mediana, moda);
b.2) o 1^{\circ} e 3^{\circ} quartil;
b.3) o desvio padrão e o coeficiente de variação.
c) Se o limite máximo de contaminação por chumbo aceitável é de 4,80 \mathrm{mmol} / \mathrm{L}, diga se o nível deste metal entre os funcionários é preocupante. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte com os dados de concentrações (36 observações):
  • (a) Construir uma tabela de frequências por classes com: frequência absoluta simples, frequência absoluta acumulada, frequência relativa simples percentual, frequência relativa acumulada percentual e ponto médio de cada classe.
  • (b.1) Calcular e interpretar as medidas de tendência central: média, mediana e moda.
  • (b.2) Calcular o 1^{\circ} e o 3^{\circ} quartil.
  • (b.3) Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação.
  • (c) Verificar se o nível de chumbo é preocupante dado o limite máximo aceitável de 4,80 mmol/L, justificando a resposta.
Informações do enunciado (dados observados, totais e limites que usaremos):
\text{Dados (ordenados)}:
1{,}28,\;1{,}53,\;2{,}32,\;2{,}52,\;2{,}81,\;2{,}83,\;3{,}03,\;3{,}09,\;3{,}15,\;3{,}26,\;3{,}29,\;3{,}35,
3{,}45,\;3{,}49,\;3{,}55,\;3{,}58,\;3{,}63,\;3{,}67,\;3{,}76,\;3{,}82,\;3{,}90,\;3{,}94,\;4{,}15,\;4{,}27,
4{,}36,\;4{,}43,\;4{,}49,\;4{,}58,\;4{,}96,\;5{,}11,\;5{,}20,\;5{,}25,\;5{,}28,\;5{,}42,\;5{,}50,\;5{,}55.
Total de observações: \;n=36.

Passo 2

Decidimos um esquema de classes para a tabela pedida em (a). Explicação didática: para fazer uma tabela em classes escolhemos um intervalo de classe (amplitude) que cubra o intervalo dos dados. O menor valor é \;1{,}28 e o maior é \;5{,}55; a amplitude total é \;5{,}55-1{,}28=4{,}27. Para ficar prático escolhi amplitude de classe \;0{,}50 (valor simples de manipular), e classes consecutivas que cubram todo o intervalo, começando em \;1{,}25 (um pouco abaixo do mínimo) e indo até \;5{,}75 (um pouco acima do máximo). Convenção: interpretamos as intervalos do tipo \;[a,b) exceto a última classe que fechamos em \;[a,b] para incluir o maior valor. As classes ficam:
[1{,}25,1{,}75),\;[1{,}75,2{,}25),\;[2{,}25,2{,}75),\;[2{,}75,3{,}25),\;[3{,}25,3{,}75),
[3{,}75,4{,}25),\;[4{,}25,4{,}75),\;[4{,}75,5{,}25),\;[5{,}25,5{,}75].

Passo 3

Contagem das observações em cada classe (faça você mesmo na prova olhando os dados ordenados):
  • [1{,}25,1{,}75): contém \;1{,}28,\;1{,}53 \;f=2.
  • [1{,}75,2{,}25): nenhum → \;f=0.
  • [2{,}25,2{,}75): contém \;2{,}32,\;2{,}52 \;f=2.
  • [2{,}75,3{,}25): contém \;2{,}81,\;2{,}83,\;3{,}03,\;3{,}09,\;3{,}15 \;f=5.
  • [3{,}25,3{,}75): contém \;3{,}26,3{,}29,3{,}35,3{,}45,3{,}49,3{,}55,3{,}58,3{,}63,3{,}67 \;f=9.
  • [3{,}75,4{,}25): contém \;3{,}76,3{,}82,3{,}90,3{,}94,4{,}15 \;f=5.
  • [4{,}25,4{,}75): contém \;4{,}27,4{,}36,4{,}43,4{,}49,4{,}58 \;f=5.
  • [4{,}75,5{,}25): contém \;4{,}96,5{,}11,5{,}20 \;f=3.
  • [5{,}25,5{,}75]: contém \;5{,}25,5{,}28,5{,}42,5{,}50,5{,}55 \;f=5.
Verificação rápida: soma das frequências 2+0+2+5+9+5+5+3+5=36 (ok).

Passo 4

Cálculo dos pontos médios e das frequências relativas (%):
  • Ponto médio de uma classe \;[a,b) é \;(a+b)/2. Para cada classe os pontos médios são:
1{,}50;\;2{,}00;\;2{,}50;\;3{,}00;\;3{,}50;\;4{,}00;\;4{,}50;\;5{,}00;\;5{,}50.
  • Frequência relativa simples percentual: \;100\cdot f/n. Com n=36:
\begin{aligned} f=2 &\Rightarrow 100\cdot 2/36=5{,}56\% \\\ f=0 &\Rightarrow 0{,}00\% \\\ f=2 &\Rightarrow 5{,}56\% \\\ f=5 &\Rightarrow 13{,}89\% \\\ f=9 &\Rightarrow 25{,}00\% \\\ f=5 &\Rightarrow 13{,}89\% \\\ f=5 &\Rightarrow 13{,}89\% \\\ f=3 &\Rightarrow 8{,}33\% \\\ f=5 &\Rightarrow 13{,}89\%. \end{aligned}
  • Frequência absoluta acumulada (fac) e acumulada percentual obtêm-se somando sucessivamente as frequências: fac =2,2,4,9,18,23,28,31,36 e acumulada \% =5{,}56\%,5{,}56\%,11{,}11\%,25{,}00\%,50{,}00\%,63{,}89\%,77{,}78\%,86{,}11\%,100{,}00\%.

Passo 5

Apresento a tabela pedida (resumo numérico pronto para resposta). Cada linha: classe \mid frequência absoluta f \mid frequência absoluta acumulada \mid frequência relativa \% \mid frequência relativa acumulada \% \mid ponto médio.
\begin{array}{l c c c c c} \text{Classe} & f & \text{fac} & \text{fr (\%)} & \text{fac (\%)} & \text{ponto médio} \\[3pt]\hline {[1{,}25,1{,}75)} & 2 & 2 & 5{,}56\% & 5{,}56\% & 1{,}50 \\\ {[1{,}75,2{,}25)} & 0 & 2 & 0{,}00\% & 5{,}56\% & 2{,}00 \\\ {[2{,}25,2{,}75)} & 2 & 4 & 5{,}56\% & 11{,}11\% & 2{,}50 \\\ {[2{,}75,3{,}25)} & 5 & 9 & 13{,}89\% & 25{,}00\% & 3{,}00 \\\ {[3{,}25,3{,}75)} & 9 & 18 & 25{,}00\% & 50{,}00\% & 3{,}50 \\\ {[3{,}75,4{,}25)} & 5 & 23 & 13{,}89\% & 63{,}89\% & 4{,}00 \\\ {[4{,}25,4{,}75)} & 5 & 28 & 13{,}89\% & 77{,}78\% & 4{,}50 \\\ {[4{,}75,5{,}25)} & 3 & 31 & 8{,}33\% & 86{,}11\% & 5{,}00 \\\ {[5{,}25,5{,}75]} & 5 & 36 & 13{,}89\% & 100{,}00\% & 5{,}50 \end{array}é]

Passo 6

Agora (b.1) — média aritmética. A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Explico: somamos todas as observações e dividimos pelo número de observações. Já somei os dados (ver Passo 1 ordenados) e obtive
\sum_{i=1}^{36} x_i = 137{,}80.
Portanto
\bar{x}=\frac{137{,}80}{36}=3{,}827777\ldots\approx 3{,}8278.
Interpretação prática: a concentração média observada entre os funcionários amostrados é \;3{,}83 mmol/L (aprox.).

Passo 7

(b.1) — mediana. Explico o procedimento: com n pares, a mediana é a média entre as observações nas posições n/2 e n/2+1 quando os dados estão ordenados. Aqui n=36, então posições 18 e 19.
  • A 18^\text{a} observação ordenada é \;3{,}67.
  • A 19^\text{a} é \;3{,}76.
    Logo
\text{mediana}=\frac{3{,}67+3{,}76}{2}=3{,}715.
Interpretação: metade das observações está abaixo de \;3{,}715 e metade acima.

Passo 8

(b.1) — moda. Explico: a moda é o(s) valor(es) que mais aparecem exatamente. Nos dados originais não há repetições exatas (cada valor aparece uma vez), logo não há moda no sentido estrito (a amostra é amodal). Porém, se considerarmos a tabela por classes, a classe modal (classe com maior frequência) é [3{,}25,3{,}75) com f=9; o ponto médio dessa classe é 3{,}50. Interpretação: o intervalo em torno de 3{,}5 concentra mais observações.

Passo 9

(b.2) — quartis. Vou usar o método posicional padrão (método (n+1)-ésimo): o k-ésimo quartil tem posição \;k\frac{n+1}{4}.
  • Posição do 1^{\circ} quartil: \;(n+1)/4 = 37/4 = 9{,}25. Isso significa que Q_1 está 0{,}25 da distância entre a 9^\text{a} e a 10^\text{a} observação.
    • 9^\text{a}=3{,}15,\;10^\text{a}=3{,}26.
    • Interpolando: Q_1=3{,}15+0{,}25(3{,}26-3{,}15)=3{,}15+0{,}0275=3{,}1775.
    • Logo Q_1\approx 3{,}1775.
  • Posição do 3^{\circ} quartil: \;3(n+1)/4 = 27{,}75. Isso é 0{,}75 da distância entre a 27^\text{a} e a 28^\text{a} observação.
    • 27^\text{a}=4{,}49,\;28^\text{a}=4{,}58.
    • Interpolando: Q_3=4{,}49+0{,}75(4{,}58-4{,}49)=4{,}49+0{,}0675=4{,}5575.
    • Logo Q_3\approx 4{,}5575.
Interpretação: 25% das observações estão abaixo de aproximadamente \;3{,}18 e 75% estão abaixo de aproximadamente \;4{,}56.

Passo 10

(b.3) — desvio padrão: explicação da fórmula e escolha: como os dados são uma amostra (funcionários amostrados aleatoriamente), usamos o desvio padrão amostral s (fórmula com divisor n-1) que é o estimador não viciado da variabilidade populacional. A fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}
ou, computacionalmente mais prático,
s=\sqrt{\frac{\sum x_i^2 - \dfrac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}}.
Já calculei
\sum_{i=1}^{36} x_i = 137{,}80,\qquad \sum_{i=1}^{36} x_i^2 = 567{,}4036.
Aplicando:
s^2=\frac{567{,}4036 - \dfrac{(137{,}80)^2}{36}}{35} = \frac{567{,}4036 - 527{,}467777\ldots}{35} = \frac{39{,}935822}{35}=1{,}1410235\ldots
s=\sqrt{1{,}1410235\ldots}\approx 1{,}0684.
Interpretação: a dispersão típica (desvio padrão) das concentrações é cerca de \;1{,}07 mmol/L.

Passo 11

(b.3) — coeficiente de variação (CV). Explico: o CV é 100\% vezes a razão entre o desvio padrão e a média; é uma medida adimensional que mostra a variação relativa:
\text{CV}=100\%\cdot\frac{s}{\bar{x}}.
Usando s\approx 1{,}0684 e \bar{x}\approx 3{,}82778:
\text{CV}=100\%\cdot\frac{1{,}0684}{3{,}82778}\approx 27{,}9\%.
Interpretação: o desvio padrão corresponde a cerca de 27{,}9\% da média — ou seja, variabilidade moderada/alta relativa à média.

Passo 12

(c) Verificação em relação ao limite máximo aceitável \;4{,}80 mmol/L. Procedimento prático: contamos quantas observações excedem \;4{,}80.
Observações maiores que \;4{,}80: \;4{,}96,\;5{,}11,\;5{,}20,\;5{,}25,\;5{,}28,\;5{,}42,\;5{,}50,\;5{,}55. São 8 observações de 36.
Proporção:
\frac{8}{36}=0{,}2222\ldots =22{,}22\%.
Interpretação e justificativa: embora a média \;(\approx 3{,}83) esteja abaixo do limite \;4{,}80, uma parcela substancial — cerca de 22{,}2\% dos funcionários amostrados — apresenta concentrações acima do máximo aceitável. Isso é preocupante do ponto de vista sanitário/operacional porque quase 1 em cada 5 amostrados está acima do limite; portanto, a situação exige investigação e medidas corretivas (ex.: identificação de fontes, exames adicionais, controle de exposição, ações de saúde ocupacional).

Resposta

(a) Tabela de classes (cada linha: classe \mid f \mid fac \mid fr (%) \mid fac (%) \mid ponto médio):
[1{,}25,1{,}75)\;|\;2\;|\;2\;|\;5{,}56\%\;|\;5{,}56\%\;|\;1{,}50
[1{,}75,2{,}25)\;|\;0\;|\;2\;|\;0{,}00\%\;|\;5{,}56\%\;|\;2{,}00
[2{,}25,2{,}75)\;|\;2\;|\;4\;|\;5{,}56\%\;|\;11{,}11\%\;|\;2{,}50
[2{,}75,3{,}25)\;|\;5\;|\;9\;|\;13{,}89\%\;|\;25{,}00\%\;|\;3{,}00
[3{,}25,3{,}75)\;|\;9\;|\;18\;|\;25{,}00\%\;|\;50{,}00\%\;|\;3{,}50
[3{,}75,4{,}25)\;|\;5\;|\;23\;|\;13{,}89\%\;|\;63{,}89\%\;|\;4{,}00
[4{,}25,4{,}75)\;|\;5\;|\;28\;|\;13{,}89\%\;|\;77{,}78\%\;|\;4{,}50
[4{,}75,5{,}25)\;|\;3\;|\;31\;|\;8{,}33\%\;|\;86{,}11\%\;|\;5{,}00
[5{,}25,5{,}75]\;|\;5\;|\;36\;|\;13{,}89\%\;|\;100{,}00\%\;|\;5{,}50
(b.1) Média \bar{x}\approx 3{,}8278 mmol/L.
Mediana =3{,}715 mmol/L.
Moda: não há valor repetido exato (amodal); classe modal por agrupamento é [3{,}25,3{,}75) (ponto médio 3{,}50).
(b.2) 1^{\circ} quartil Q_1\approx 3{,}1775.
3^{\circ} quartil Q_3\approx 4{,}5575.
(b.3) Desvio padrão amostral s\approx 1{,}0684 mmol/L.
Coeficiente de variação \text{CV}\approx 27{,}9\%.
(c) Sim — é preocupante. Justificativa: 8 de 36 funcionários ( 22{,}22\%) apresentam concentrações superiores a 4{,}80 mmol/L, proporção significativa que exige investigação e medidas.

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