Uma empresa química afirma que nenhum de seus funcionários estão contaminados por chumbo. Para verificar isto, a empresa fez um exame de rotina em 36 funcionários escolhidos ao acaso. As concentrações obtidas foram:
3,35
3,67
4,27
5,11
5,55
2,83
3,29
3,63
4,15
4,96
5,50
2,81
3,26
3,58
3,94
4,58
5,42
2,52
3,15
3,55
3,90
4,49
5,28
2,32
3,09
3,49
3,82
4,43
5,25
1,53
3,03
3,45
3,76
4,36
5,20
1,28
a) Construa uma tabela de frequência em classes contendo a frequência absoluta simples, frequência absoluta acumulada, frequência relativa simples percentual, frequência acumulada percentual e ponto médio;
b) Para os dados apresentados na tabela construída no item (a), calcule e interprete:
b.1) as medidas de tendência central (média, mediana, moda);
b.2) o 1^{\circ} e 3^{\circ} quartil;
b.3) o desvio padrão e o coeficiente de variação.
c) Se o limite máximo de contaminação por chumbo aceitável é de 4,80 \mathrm{mmol} / \mathrm{L}, diga se o nível deste metal entre os funcionários é preocupante. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte com os dados de concentrações (36 observações):
(a) Construir uma tabela de frequências por classes com: frequência absoluta simples, frequência absoluta acumulada, frequência relativa simples percentual, frequência relativa acumulada percentual e ponto médio de cada classe.
(b.1) Calcular e interpretar as medidas de tendência central: média, mediana e moda.
(b.2) Calcular o 1^{\circ} e o 3^{\circ} quartil.
(b.3) Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação.
(c) Verificar se o nível de chumbo é preocupante dado o limite máximo aceitável de 4,80 mmol/L, justificando a resposta.
Informações do enunciado (dados observados, totais e limites que usaremos):
Decidimos um esquema de classes para a tabela pedida em (a). Explicação didática: para fazer uma tabela em classes escolhemos um intervalo de classe (amplitude) que cubra o intervalo dos dados. O menor valor é \;1{,}28 e o maior é \;5{,}55; a amplitude total é \;5{,}55-1{,}28=4{,}27. Para ficar prático escolhi amplitude de classe \;0{,}50 (valor simples de manipular), e classes consecutivas que cubram todo o intervalo, começando em \;1{,}25 (um pouco abaixo do mínimo) e indo até \;5{,}75 (um pouco acima do máximo). Convenção: interpretamos as intervalos do tipo \;[a,b) exceto a última classe que fechamos em \;[a,b] para incluir o maior valor. As classes ficam:
Frequência absoluta acumulada (fac) e acumulada percentual obtêm-se somando sucessivamente as frequências: fac =2,2,4,9,18,23,28,31,36 e acumulada \% =5{,}56\%,5{,}56\%,11{,}11\%,25{,}00\%,50{,}00\%,63{,}89\%,77{,}78\%,86{,}11\%,100{,}00\%.
Passo 5
Apresento a tabela pedida (resumo numérico pronto para resposta). Cada linha: classe \mid frequência absoluta f\mid frequência absoluta acumulada \mid frequência relativa \%\mid frequência relativa acumulada \%\mid ponto médio.
Interpretação prática: a concentração média observada entre os funcionários amostrados é \;3{,}83 mmol/L (aprox.).
Passo 7
(b.1) — mediana. Explico o procedimento: com n pares, a mediana é a média entre as observações nas posições n/2 e n/2+1 quando os dados estão ordenados. Aqui n=36, então posições 18 e 19.
A 18^\text{a} observação ordenada é \;3{,}67.
A 19^\text{a} é \;3{,}76.
Logo
\text{mediana}=\frac{3{,}67+3{,}76}{2}=3{,}715.
Interpretação: metade das observações está abaixo de \;3{,}715 e metade acima.
Passo 8
(b.1) — moda. Explico: a moda é o(s) valor(es) que mais aparecem exatamente. Nos dados originais não há repetições exatas (cada valor aparece uma vez), logo não há moda no sentido estrito (a amostra é amodal). Porém, se considerarmos a tabela por classes, a classe modal (classe com maior frequência) é [3{,}25,3{,}75) com f=9; o ponto médio dessa classe é 3{,}50. Interpretação: o intervalo em torno de 3{,}5 concentra mais observações.
Passo 9
(b.2) — quartis. Vou usar o método posicional padrão (método (n+1)-ésimo): o k-ésimo quartil tem posição \;k\frac{n+1}{4}.
Posição do 1^{\circ} quartil: \;(n+1)/4 = 37/4 = 9{,}25. Isso significa que Q_1 está 0{,}25 da distância entre a 9^\text{a} e a 10^\text{a} observação.
Interpretação: 25% das observações estão abaixo de aproximadamente \;3{,}18 e 75% estão abaixo de aproximadamente \;4{,}56.
Passo 10
(b.3) — desvio padrão: explicação da fórmula e escolha: como os dados são uma amostra (funcionários amostrados aleatoriamente), usamos o desvio padrão amostral s (fórmula com divisor n-1) que é o estimador não viciado da variabilidade populacional. A fórmula é
Interpretação: a dispersão típica (desvio padrão) das concentrações é cerca de \;1{,}07 mmol/L.
Passo 11
(b.3) — coeficiente de variação (CV). Explico: o CV é 100\% vezes a razão entre o desvio padrão e a média; é uma medida adimensional que mostra a variação relativa:
\text{CV}=100\%\cdot\frac{s}{\bar{x}}.
Usando s\approx 1{,}0684 e \bar{x}\approx 3{,}82778:
Interpretação: o desvio padrão corresponde a cerca de 27{,}9\% da média — ou seja, variabilidade moderada/alta relativa à média.
Passo 12
(c) Verificação em relação ao limite máximo aceitável \;4{,}80 mmol/L. Procedimento prático: contamos quantas observações excedem \;4{,}80.
Observações maiores que \;4{,}80: \;4{,}96,\;5{,}11,\;5{,}20,\;5{,}25,\;5{,}28,\;5{,}42,\;5{,}50,\;5{,}55. São 8 observações de 36.
Proporção:
\frac{8}{36}=0{,}2222\ldots =22{,}22\%.
Interpretação e justificativa: embora a média \;(\approx 3{,}83) esteja abaixo do limite \;4{,}80, uma parcela substancial — cerca de 22{,}2\% dos funcionários amostrados — apresenta concentrações acima do máximo aceitável. Isso é preocupante do ponto de vista sanitário/operacional porque quase 1 em cada 5 amostrados está acima do limite; portanto, a situação exige investigação e medidas corretivas (ex.: identificação de fontes, exames adicionais, controle de exposição, ações de saúde ocupacional).
Resposta
(a) Tabela de classes (cada linha: classe \midf\mid fac \mid fr (%) \mid fac (%) \mid ponto médio): [1{,}25,1{,}75)\;|\;2\;|\;2\;|\;5{,}56\%\;|\;5{,}56\%\;|\;1{,}50 [1{,}75,2{,}25)\;|\;0\;|\;2\;|\;0{,}00\%\;|\;5{,}56\%\;|\;2{,}00 [2{,}25,2{,}75)\;|\;2\;|\;4\;|\;5{,}56\%\;|\;11{,}11\%\;|\;2{,}50 [2{,}75,3{,}25)\;|\;5\;|\;9\;|\;13{,}89\%\;|\;25{,}00\%\;|\;3{,}00 [3{,}25,3{,}75)\;|\;9\;|\;18\;|\;25{,}00\%\;|\;50{,}00\%\;|\;3{,}50 [3{,}75,4{,}25)\;|\;5\;|\;23\;|\;13{,}89\%\;|\;63{,}89\%\;|\;4{,}00 [4{,}25,4{,}75)\;|\;5\;|\;28\;|\;13{,}89\%\;|\;77{,}78\%\;|\;4{,}50 [4{,}75,5{,}25)\;|\;3\;|\;31\;|\;8{,}33\%\;|\;86{,}11\%\;|\;5{,}00 [5{,}25,5{,}75]\;|\;5\;|\;36\;|\;13{,}89\%\;|\;100{,}00\%\;|\;5{,}50
(b.1) Média \bar{x}\approx 3{,}8278 mmol/L.
Mediana =3{,}715 mmol/L.
Moda: não há valor repetido exato (amodal); classe modal por agrupamento é [3{,}25,3{,}75) (ponto médio 3{,}50).
(c) Sim — é preocupante. Justificativa: 8 de 36 funcionários (22{,}22\%) apresentam concentrações superiores a 4{,}80 mmol/L, proporção significativa que exige investigação e medidas.