Calcule as integrais: integral sen^2 x sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica para sin(2x) = 2 sin x cos x . Sabemos que:
integral sin^2 x cdot 2 sin x cos x , dx = 2 integral sin^3 x cos x , dx
Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa nova integral du = cos x , dx usando substituição. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo 2 integral u^3 , du e na integral:
Agora, a integral está em termos de e é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos integrar 2 cdot u^44 + C = u^42 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos (sin x)^42 + C = sin^4 x2 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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