Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço:
x^{2}+y^{2}-4 z^{2}+4 x-6 y-8 z=13

Passo 1

O enunciado pede para escrever a superfície
x^{2}+y^{2}-4z^{2}+4x-6y-8z=13
na forma padrão, identificar de que tipo de quadriculada se trata (classificação) e desenhar um esboço. O conteúdo principal aqui é completar quadrados em x, y e z e reconhecer a forma canônica de uma superfície quádrupla.

Passo 2

Agrupamos termos em x, y e z e completamos quadrados:
– Para x:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4.
– Para y:
y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9.
– Para z:
-4z^{2}-8z = -4\bigl(z^{2}+2z\bigr) = -4\bigl((z+1)^{2}-1\bigr) = -4(z+1)^{2}+4.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos
(x+2)^{2}-4 \;+\;(y-3)^{2}-9\;-\;4(z+1)^{2}+4 \;=\;13.
Somando as constantes -4-9+4=-9, a equação fica
(x+2)^{2}+(y-3)^{2}-4(z+1)^{2}-9=13 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)^{2}+(y-3)^{2}-4(z+1)^{2}=22.

Passo 4

Para chegar à forma padrão dividimos ambos os lados por 22:
\frac{(x+2)^{2}}{22} \;+\;\frac{(y-3)^{2}}{22} \;-\;\frac{4(z+1)^{2}}{22} \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+2)^{2}}{22} + \frac{(y-3)^{2}}{22} - \frac{(z+1)^{2}}{11/2} = 1.

Passo 5

Analisando os sinais dos termos: há duas parcelas positivas e uma negativa, e o lado direito é +1. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, com centro em (-2,3,-1) e eixo principal paralelo ao eixo z.

Passo 6

Esboço rápido:
– Traços em planos z=k dão elipses centradas em (-2,3,k-1), pois
\frac{(x+2)^{2}}{22}+\frac{(y-3)^{2}}{22}=1+\frac{(z+1)^{2}}{11/2}.
– Traços em planos x= constante ou y= constante dão hipérboles.
Desenhe a nuvem de elipses que se estreitam ou alargam conforme |z+1| cresce, obtendo o contorno de um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

Forma padrão:
\frac{(x+2)^{2}}{22} \;+\;\frac{(y-3)^{2}}{22} \;-\;\frac{(z+1)^{2}}{11/2} = 1.
Classificação: hiperbolóide de uma folha, centro em (-2,3,-1) e eixo principal paralelo ao eixo z.
Esboço: série de elipses em cortes z= constante e hipérboles em cortes verticais, formando o corpo de um hiperbolóide de uma folha.

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