Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço:
Passo 1
O enunciado pede para escrever a superfície
na forma padrão, identificar de que tipo de quadriculada se trata (classificação) e desenhar um esboço. O conteúdo principal aqui é completar quadrados em
,
e
e reconhecer a forma canônica de uma superfície quádrupla.
Passo 2
Agrupamos termos em
,
e
e completamos quadrados:
– Para
:
– Para
:
– Para
:
Passo 3
Substituindo na equação original, temos
Somando as constantes
, a equação fica
Passo 4
Para chegar à forma padrão dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Analisando os sinais dos termos: há duas parcelas positivas e uma negativa, e o lado direito é
. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, com centro em
e eixo principal paralelo ao eixo
.
Passo 6
Esboço rápido:
– Traços em planos dão elipses centradas em
, pois
– Traços em planos
– Traços em planos
constante ou
constante dão hipérboles.
Desenhe a nuvem de elipses que se estreitam ou alargam conforme cresce, obtendo o contorno de um hiperbolóide de uma folha.
Desenhe a nuvem de elipses que se estreitam ou alargam conforme
Resposta
Forma padrão:
Classificação: hiperbolóide de uma folha, centro em
e eixo principal paralelo ao eixo
.
Esboço: série de elipses em cortes constante e hipérboles em cortes verticais, formando o corpo de um hiperbolóide de uma folha.
Esboço: série de elipses em cortes