Coloque a equação na forma padrão e resolva:
(1+x) \frac{d y}{d x}+y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x)\frac{d y}{d x}+y=1
e pede que eu a coloque na forma padrão e a resolva. Informações claras que já temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona y, sua derivada \dfrac{d y}{d x} e a variável x.
  • As tarefas são: (i) escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem; (ii) encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Colocar na forma padrão significa escrever a equação como
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
identificando P(x) e Q(x). Para isso divido a equação original por (1+x), supondo momentaneamente que 1+x\neq0. Fazendo isso obtenho
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{1+x}\,y=\frac{1}{1+x}.
Portanto
P(x)=\frac{1}{1+x},\qquad Q(x)=\frac{1}{1+x}.

Passo 3

Agora uso o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação padrão por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Isso funciona se
\mu'(x)=\mu(x)P(x),
ou seja
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x).
Integrando ambos os lados:
\ln|\mu(x)|=\int P(x)\,dx + C,
e podemos tomar
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int P(x)\,dx\bigg).
Esse \mu(x) é o fator integrante.

Passo 4

Calculo o fator integrante com P(x)=\dfrac{1}{1+x}:
\int P(x)\,dx=\int\frac{1}{1+x}\,dx=\ln|1+x|.
Logo
\mu(x)=\exp(\ln|1+x|)=|1+x|.
Na prática, como constantes multiplicativas não mudam a solução geral, posso escolher \mu(x)=1+x em qualquer intervalo onde 1+x>0, ou \mu(x)=-(1+x) se 1+x<0. Para simplificar, trabalho com \mu(x)=1+x e lembro que a solução vale em intervalos que não contem x=-1.

Passo 5

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=1+x. Como já notado, isso reconstrói a forma original, mas agora com a interpretação de que o lado esquerdo é a derivada de (1+x)y. Escrevo explicitamente:
(1+x)\frac{d y}{d x}+y=\frac{d}{dx}\big((1+x)\,y\big).
Portanto a equação multiplicada fica
\frac{d}{dx}\big((1+x)\,y\big)=1.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big((1+x)\,y\big)\,dx=\int 1\,dx.
Isso dá
(1+x)\,y = x + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolo y:
y=\frac{x+C}{1+x}.
Uma forma alternativa, útil para interpretar, é escrever
y=1+\frac{C-1}{1+x}.
Ambas representam a mesma família de soluções; o parâmetro C é arbitrário.

Passo 7

Comentários finais — domínio e particularidades:
  • A solução encontrada é válida em cada intervalo onde 1+x\neq0 (isto é, para x>-1 ou para x<-1 separadamente). Em x=-1 a equação original não está na forma padrão porque o coeficiente de \dfrac{dy}{dx} é zero; portanto não se pode atravessar esse ponto com a mesma fórmula sem checar continuidade/condições adicionais.
  • A solução constante y=1 corresponde ao caso C=1 (substituindo dá y=1, verifique na equação original).

Resposta

y=\frac{x+C}{1+x},\qquad C\in\mathbb{R}.

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