Coloque a equação na forma padrão e resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu a coloque na forma padrão e a resolva. Informações claras que já temos:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
, sua derivada e a variável . - As tarefas são: (i) escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem; (ii) encontrar a solução geral
.
Passo 2
Colocar na forma padrão significa escrever a equação como
identificando
e
. Para isso divido a equação original por
, supondo momentaneamente que
. Fazendo isso obtenho
Portanto
Passo 3
Agora uso o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação padrão por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Isso funciona se
ou seja
Integrando ambos os lados:
e podemos tomar
Esse
é o fator integrante.
Passo 4
Calculo o fator integrante com
:
Logo
Na prática, como constantes multiplicativas não mudam a solução geral, posso escolher
em qualquer intervalo onde
, ou
se
. Para simplificar, trabalho com
e lembro que a solução vale em intervalos que não contem
.
Passo 5
Multiplico a equação padrão por
. Como já notado, isso reconstrói a forma original, mas agora com a interpretação de que o lado esquerdo é a derivada de
. Escrevo explicitamente:
Portanto a equação multiplicada fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração. Agora isolo
:
Uma forma alternativa, útil para interpretar, é escrever
Ambas representam a mesma família de soluções; o parâmetro
é arbitrário.
Passo 7
Comentários finais — domínio e particularidades:
- A solução encontrada é válida em cada intervalo onde
(isto é, para ou para separadamente). Em a equação original não está na forma padrão porque o coeficiente de é zero; portanto não se pode atravessar esse ponto com a mesma fórmula sem checar continuidade/condições adicionais. - A solução constante
corresponde ao caso (substituindo dá , verifique na equação original).