Nos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.):
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido: encontrar a função
definida num intervalo contendo
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem no formato
(aqui e ). - A condição inicial é
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vou usar o método do fator integrante — é o método padrão para resolver equações lineares de primeira ordem e é simples de aplicar aqui. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
que transforma o lado esquerdo numa derivada exata do produto
. Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados.
Breve explicação do porquê isso funciona (sem pular etapas): suponha que exista
tal que
Queremos que isso seja igual a
(porque a equação original tem
). Assim precisamos de
. Isso é uma equação diferencial simples para
que podemos resolver.
Passo 3
Encontrar o fator integrante
. Resolver
Isto é uma equação separável; dividindo por
e integrando:
A integral do lado esquerdo é
, então
Escolhendo a constante multiplicativa convenientemente (o fator integrante pode ser multiplicado por constante sem alterar o processo), tomamos
Verificação rápida (produto e derivada):
, logo
como queríamos.
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
. Fazendo isso obtemos
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integrando a derivada obtemos o próprio produto:
onde
é a constante de integração. Portanto a solução geral (antes da condição inicial) é dada por
ou, escrevendo de outra forma,
Passo 6
Impor a condição inicial para determinar
. Substituindo
e
na expressão geral:
Como
, segue que
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): calcular
a partir da solução geral com
(não repetindo a resposta final aqui, apenas mostrando o teste). Se
, então
Então
que confirma que a forma geral resolve a equação diferencial. Com
também a condição inicial fica satisfeita.