Nos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.):
y^{\prime}-3 y=e^{3 x}, \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' - 3y = e^{3x},\qquad y(0)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(x) definida num intervalo contendo x=0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem no formato y' + p(x)y = q(x) (aqui p(x)=-3 e q(x)=e^{3x}).
  • A condição inicial é y(0)=2.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vou usar o método do fator integrante — é o método padrão para resolver equações lineares de primeira ordem e é simples de aplicar aqui. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) que transforma o lado esquerdo numa derivada exata do produto \mu(x)y(x). Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados.
Breve explicação do porquê isso funciona (sem pular etapas): suponha que exista \mu(x) tal que
\big(\mu(x)\,y(x)\big)' = \mu(x)\,y'(x) + \mu'(x)\,y(x).
Queremos que isso seja igual a \mu(x)\big(y'(x)-3y(x)\big) (porque a equação original tem y'-3y). Assim precisamos de \mu'(x) = -3\mu(x). Isso é uma equação diferencial simples para \mu que podemos resolver.

Passo 3

Encontrar o fator integrante \mu(x). Resolver
\mu'(x) = -3\mu(x).
Isto é uma equação separável; dividindo por \mu e integrando:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = -3 \quad\Rightarrow\quad \int \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}\,dx = \int -3\,dx.
A integral do lado esquerdo é \ln|\mu(x)|, então
\ln|\mu(x)| = -3x + C_1.
Escolhendo a constante multiplicativa convenientemente (o fator integrante pode ser multiplicado por constante sem alterar o processo), tomamos
\mu(x) = e^{-3x}.
Verificação rápida (produto e derivada): \mu'(x) = -3e^{-3x}, logo
\mu(x)y'(x)+\mu'(x)y(x)=e^{-3x}y'(x)-3e^{-3x}y(x)=e^{-3x}\big(y'(x)-3y(x)\big),
como queríamos.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e^{-3x}. Fazendo isso obtemos
e^{-3x}\big(y'(x)-3y(x)\big) = e^{-3x}e^{3x}.
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\big(e^{-3x}y(x)\big)' = e^{-3x}e^{3x}.
Simplificando o lado direito:
\big(e^{-3x}y(x)\big)' = 1.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integrando a derivada obtemos o próprio produto:
e^{-3x}y(x) = \int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Portanto a solução geral (antes da condição inicial) é dada por
e^{-3x}y(x) = x + C,
ou, escrevendo de outra forma,
y(x)=e^{3x}\big(x + C\big).

Passo 6

Impor a condição inicial para determinar C. Substituindo x=0 e y(0)=2 na expressão geral:
y(0)=e^{0}\big(0 + C\big)=C.
Como y(0)=2, segue que C=2.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): calcular y'(x) a partir da solução geral com C=2 (não repetindo a resposta final aqui, apenas mostrando o teste). Se y(x)=e^{3x}(x+C), então
y'(x)=3e^{3x}(x+C)+e^{3x}\cdot 1 = e^{3x}\big(3(x+C)+1\big).
Então
y'(x)-3y(x)=e^{3x}\big(3(x+C)+1\big)-3e^{3x}(x+C)=e^{3x},
que confirma que a forma geral resolve a equação diferencial. Com C=2 também a condição inicial fica satisfeita.

Resposta

y(x)=e^{3x}\big(x+2\big)

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