Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações dadas e o que se quer encontrar:
Informações dadas e o que se quer encontrar:
- A equação envolve a derivada de
em relação a , ou seja, a função desconhecida é . - O termo independente do lado direito é a função
de . - O pedido é a solução geral, isto é, a família de todas as soluções
com uma constante arbitrária.
Passo 2
Reescrevendo a equação numa forma padrão para aplicar um método (a manipulação algébrica é só reorganizar):
Aqui convém identificar o coeficiente de
como uma função de
; escrevendo de forma genérica:
temos neste caso
e
.
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Ideia rápida e intuitiva do método: multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo passe a ser a derivada de um produto
. Isso transforma a EDO numa igualdade imediatamente integrável. A escolha de
é dada pela fórmula
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante
usando
:
Explicação curta:
, então
. Esse
é a função que, ao multiplicar a equação, fará o lado esquerdo virar uma derivada de produto.
Passo 4
Multiplicar toda a equação original por
:
A construção do fator integrante garante que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Para ver isso, calcule a derivada:
que é exatamente
. Logo a equação fica
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra imediatamente para
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração. O próximo passo é calcular a integral à direita.
Passo 6
Calcular a integral
. Separei-a em duas integrais:
- Para
: é integral direta de exponencial.
Explicando:
, aqui
, então
.
- Para
: uso integração por partes. Lembra a fórmula
Escolho
(porque sua derivada é simples) e
. Então
Aplicando a fórmula:
E
, então
Fatorando
:
Passo 7
Volto à integral completa:
Isso simplifica para
Fazendo
, obtemos
Substituindo este resultado em
, fica
Passo 8
Isolando
(multiplicando os dois lados por
) obtemos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária.
Breve comentário didático: a parte é uma solução particular da equação não homogênea (ela satisfaz a equação com a parte
), e
é a solução geral da equação homogênea associada
. Na prática, o método do fator integrante une esses dois componentes automaticamente.
Breve comentário didático: a parte