Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária.
\frac{d y}{d x}-2 y=4-x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-2 y=4-x
e pede a solução geral y(x).
Informações dadas e o que se quer encontrar:
  • A equação envolve a derivada de y em relação a x, ou seja, a função desconhecida é y(x).
  • O termo independente do lado direito é a função 4-x de x.
  • O pedido é a solução geral, isto é, a família de todas as soluções y(x) com uma constante arbitrária.

Passo 2

Reescrevendo a equação numa forma padrão para aplicar um método (a manipulação algébrica é só reorganizar):
\frac{d y}{d x}+(-2)\,y=4-x.
Aqui convém identificar o coeficiente de y como uma função de x; escrevendo de forma genérica:
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
temos neste caso P(x)=-2 e Q(x)=4-x.
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Ideia rápida e intuitiva do método: multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo passe a ser a derivada de um produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). Isso transforma a EDO numa igualdade imediatamente integrável. A escolha de \mu(x) é dada pela fórmula
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x) usando P(x)=-2:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -2\,dx\right)=\exp(-2x)=e^{-2x}.
Explicação curta: \int -2\,dx=-2x, então \mu(x)=e^{-2x}. Esse \mu é a função que, ao multiplicar a equação, fará o lado esquerdo virar uma derivada de produto.

Passo 4

Multiplicar toda a equação original por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}\frac{d y}{d x}-2e^{-2x}y=(4-x)e^{-2x}.
A construção do fator integrante garante que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{-2x}y. Para ver isso, calcule a derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=e^{-2x}\frac{d y}{d x}+y\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}\big) = e^{-2x}\frac{d y}{d x}+y(-2)e^{-2x},
que é exatamente e^{-2x}\dfrac{d y}{d x}-2e^{-2x}y. Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=(4-x)e^{-2x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)\,dx = \int (4-x)e^{-2x}\,dx.
O lado esquerdo integra imediatamente para e^{-2x}y. Assim obtemos
e^{-2x}y = \int (4-x)e^{-2x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. O próximo passo é calcular a integral à direita.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle\int (4-x)e^{-2x}\,dx. Separei-a em duas integrais:
\int (4-x)e^{-2x}\,dx = \int 4e^{-2x}\,dx - \int x e^{-2x}\,dx.
  1. Para \displaystyle\int 4e^{-2x}\,dx: é integral direta de exponencial.
\int 4e^{-2x}\,dx = 4\int e^{-2x}\,dx = 4\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) = -2e^{-2x}.
Explicando: \int e^{ax}dx = \tfrac{1}{a}e^{ax}, aqui a=-2, então \tfrac{1}{a}=-\tfrac{1}{2}.
  1. Para \displaystyle\int x e^{-2x}\,dx: uso integração por partes. Lembra a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=x (porque sua derivada é simples) e dv=e^{-2x}dx. Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-2x}dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{-2x}\,dx = x\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
E \displaystyle\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}, então
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} - \tfrac{1}{4}e^{-2x}.
Fatorando e^{-2x}:
\int x e^{-2x}\,dx = -e^{-2x}\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\right).

Passo 7

Volto à integral completa:
\int (4-x)e^{-2x}\,dx = -2e^{-2x} - \Big(-e^{-2x}\big(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\big)\Big).
Isso simplifica para
\int (4-x)e^{-2x}\,dx = -2e^{-2x} + e^{-2x}\Big(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\Big) = e^{-2x}\Big(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}-2\Big).
Fazendo \tfrac{1}{4}-2 = \tfrac{1-8}{4}=-\tfrac{7}{4}, obtemos
\int (4-x)e^{-2x}\,dx = e^{-2x}\Big(\tfrac{x}{2}-\tfrac{7}{4}\Big).
Substituindo este resultado em e^{-2x}y = \int (4-x)e^{-2x}\,dx + C, fica
e^{-2x}y = e^{-2x}\Big(\tfrac{x}{2}-\tfrac{7}{4}\Big) + C.

Passo 8

Isolando y (multiplicando os dois lados por e^{2x}) obtemos a solução geral:
y(x)=\tfrac{x}{2}-\tfrac{7}{4}+C e^{2x},
onde C é uma constante arbitrária.
Breve comentário didático: a parte \tfrac{x}{2}-\tfrac{7}{4} é uma solução particular da equação não homogênea (ela satisfaz a equação com a parte 4-x), e C e^{2x} é a solução geral da equação homogênea associada \dfrac{dy}{dx}-2y=0. Na prática, o método do fator integrante une esses dois componentes automaticamente.

Resposta

y(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{7}{4}+C e^{2x}

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