Questão 04

Determinar os possíveis valores reais de m para que se tenha, simultaneamente, \operatorname{sen} \alpha=\frac{m}{2} \mathrm{e} \cos \alpha=m-1. (Relação Fundamental da Trigonometria)

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades envolvendo um mesmo ângulo \alpha:
  • \sin\alpha=\dfrac{m}{2}.
  • \cos\alpha=m-1.
O que se pede: determinar todos os valores reais de m tais que exista algum ângulo real \alpha que satisfaça as duas igualdades simultaneamente.
Informações relevantes dadas (lista clara):
  • A incógnita que queremos é m\in\mathbb{R}.
  • Os valores \sin\alpha e \cos\alpha devem corresponder ao mesmo \alpha.
  • Lembrete obvio (vamos usar depois): \sin\alpha e \cos\alpha sempre pertencem ao intervalo [-1,1].

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar: a Relação Fundamental da Trigonometria (identidade pitagórica)
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
Explicando: para qualquer ângulo real \alpha, o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno vale 1. Aqui \sin\alpha e \cos\alpha são números reais; a identidade permite relacioná-los mesmo sem conhecer \alpha.
Usando as expressões fornecidas, substituímos na identidade:
\left(\dfrac{m}{2}\right)^2 + (m-1)^2 = 1.

Passo 3

Desenvolvendo a equação algébrica obtida:
\left(\dfrac{m}{2}\right)^2 + (m-1)^2 = 1
\dfrac{m^2}{4} + (m^2 - 2m + 1) = 1.
Somando os termos semelhantes:
\dfrac{m^2}{4} + m^2 - 2m + 1 = 1.
\left(\dfrac{1}{4}+1\right)m^2 - 2m + 1 = 1.
\dfrac{5}{4}m^2 - 2m + 1 = 1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
\dfrac{5}{4}m^2 - 2m = 0.

Passo 4

Resolver a equação obtida:
\dfrac{5}{4}m^2 - 2m = 0.
Fatorando m:
m\left(\dfrac{5}{4}m - 2\right) = 0.
Portanto as soluções algébricas são
m=0 \qquad\text{ou}\qquad \dfrac{5}{4}m-2=0 \Rightarrow m=\dfrac{2\cdot 4}{5}=\dfrac{8}{5}.

Passo 5

Agora precisamos verificar se essas soluções respeitam as restrições naturais de seno e cosseno (cada um deve estar em [-1,1]) e se, de facto, correspondem ao mesmo ângulo \alpha.
Verificação de domínio:
  • De \sin\alpha=\dfrac{m}{2} vem \dfrac{m}{2}\in[-1,1], ou seja m\in[-2,2].
  • De \cos\alpha=m-1 vem m-1\in[-1,1], ou seja m\in[0,2].
    Interseção: m\in[0,2]. Portanto apenas m neste intervalo são admissíveis.
As soluções encontradas são m=0 e m=\dfrac{8}{5}. Ambas pertencem a [0,2], logo passam no teste de intervalo.
Substituição para confirmar consistência com um mesmo ângulo:
  • Para m=0: \sin\alpha=0 e \cos\alpha=-1. Existe \alpha real (por exemplo \alpha=\pi) com essas coordenadas — portanto m=0 é válido.
  • Para m=\dfrac{8}{5}: \sin\alpha=\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{5} e \cos\alpha=\dfrac{8}{5}-1=\dfrac{3}{5}. Esses valores estão em [-1,1] e satisfazem \left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2= \dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{25}=1, logo correspondem ao mesmo ângulo (ângulo no primeiro quadrante). Portanto m=\dfrac{8}{5} também é válido.

Resposta

m=0
m=\dfrac{8}{5}

Exercícios relacionados