Questão 04
Determinar os possíveis valores reais de m para que se tenha, simultaneamente,
. (Relação Fundamental da Trigonometria)
Passo 1
O enunciado dá duas igualdades envolvendo um mesmo ângulo
:
-
. -
.
O que se pede: determinar todos os valores reais de
tais que exista algum ângulo real
que satisfaça as duas igualdades simultaneamente.
Informações relevantes dadas (lista clara):
- A incógnita que queremos é
. - Os valores
e devem corresponder ao mesmo . - Lembrete obvio (vamos usar depois):
e sempre pertencem ao intervalo .
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar: a Relação Fundamental da Trigonometria (identidade pitagórica)
Explicando: para qualquer ângulo real
, o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno vale 1. Aqui
e
são números reais; a identidade permite relacioná-los mesmo sem conhecer
.
Usando as expressões fornecidas, substituímos na identidade:
Passo 3
Desenvolvendo a equação algébrica obtida:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 4
Resolver a equação obtida:
Fatorando
:
Portanto as soluções algébricas são
Passo 5
Agora precisamos verificar se essas soluções respeitam as restrições naturais de seno e cosseno (cada um deve estar em
) e se, de facto, correspondem ao mesmo ângulo
.
Verificação de domínio:
- De
vem , ou seja . - De
vem , ou seja .
Interseção:. Portanto apenas neste intervalo são admissíveis.
As soluções encontradas são
e
. Ambas pertencem a
, logo passam no teste de intervalo.
Substituição para confirmar consistência com um mesmo ângulo:
- Para
: e . Existe real (por exemplo ) com essas coordenadas — portanto é válido. - Para
: e . Esses valores estão em e satisfazem , logo correspondem ao mesmo ângulo (ângulo no primeiro quadrante). Portanto também é válido.