Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
(e^-y+1) sin x d x=(1+cos x) d y ; y(0)=0
obs: integral d uu^2+1=arctan u

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(e^-y+1),sin x,dx = (1+cos x),dy
com condição inicial y(0)=0. Isso é um ODE separável: vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro colocamos tudo que depende de x de um lado e de y do outro. Dividindo por (1+cos x)(e^-y+1) e reorganizando temos
sin x1+cos x,dx = 1e^-y+1,dy
Agora as variáveis estão separadas: integrando ambos os lados.

Passo 3

No lado de x, calculamos
integral sin x1+cos x,dx
Usamos a substituição u = 1+cos x, de modo que du = -sin x,dx. Assim
integral sin x1+cos x,dx = -integral duu = -ln|u| + C1 = -ln(1+cos x) + C1

Passo 4

No lado de y, temos
integral 1e^-y+1,dy
Observamos que
1e^-y+1 = e^y1+e^y
Fazendo v = 1+e^y, dv = e^y,dy, obtemos
integral e^y1+e^y,dy = integral dvv = ln|v| + C2 = ln(1+e^y) + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais (absorvendo C1-C2 em uma constante C):
-ln(1+cos x) = ln(1+e^y) + C
Reescrevendo,
lnl[(1+e^y)(1+cos x)r] = -C = C',
ou seja,
(1+e^y)(1+cos x) = K,
com K = e^C'.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=0: em x=0, y=0 temos
(1+e^0)(1+cos0) = 2 cdot 2 =4 = K
Portanto a solução implícita é
(1+e^y)(1+cos x)=4

Passo 7

Por fim, isolamos y. Da equação acima
1+e^y = 41+cos x,
e^y = 41+cos x - 1 = 3-cos x1+cos x,
y = ln!iggl(3-cos x1+cos xgr) 
Isso é a solução explícita que satisfaz y(0)=0.

Resposta

y(x) = \ln!\left(\frac{3 - \cos x}{1 + \cos x}\right)

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