Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de
.
obs:
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
. Isso é um ODE separável: vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro colocamos tudo que depende de
de um lado e de
do outro. Dividindo por
e reorganizando temos
Agora as variáveis estão separadas: integrando ambos os lados.
Passo 3
No lado de
, calculamos
Usamos a substituição
, de modo que
. Assim
Passo 4
No lado de
, temos
Observamos que
Fazendo
,
, obtemos
Passo 5
Igualando as duas integrais (absorvendo
em uma constante
):
Reescrevendo,
ou seja,
com
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
: em
,
temos
Portanto a solução implícita é
Passo 7
Por fim, isolamos
. Da equação acima
Isso é a solução explícita que satisfaz
.
Resposta
y(x) = \ln!\left(\frac{3 - \cos x}{1 + \cos x}\right)