Encontre a solução geral da equação
Para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + \alpha y = 0 $ e precisa encontrar a solução geral dela para
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que ajuda a encontrar as soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que obtemos substituindo $ y = e^{r x} $ na equação diferencial. Fazendo isso, obtemos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, no nosso caso, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = \alpha $. Substituindo esses valores, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, como
, o termo dentro da raiz quadrada,
, é positivo. Isso significa que teremos duas raízes reais e distintas. Então, podemos escrever as duas soluções como:
Passo 5
Com essas duas raízes, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Ou seja:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação $ y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + \alpha y = 0 $ para
é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.