Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
Para alpha<1. (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + \alpha y = 0 $ e precisa encontrar a solução geral dela para y^prime prime + 2 y^prime + alpha y = 0 . Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que ajuda a encontrar as soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que obtemos substituindo $ y = e^{r x} $ na equação diferencial. Fazendo isso, obtemos:
y = e^r x

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Onde, no nosso caso, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = \alpha $. Substituindo esses valores, temos:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Simplificando:
a = 1

Passo 4

Agora, como alpha < 1, o termo dentro da raiz quadrada, 1 - alpha, é positivo. Isso significa que teremos duas raízes reais e distintas. Então, podemos escrever as duas soluções como:
r1 = -1 + raiz1 - alpha
r2 = -1 - raiz1 - alpha

Passo 5

Com essas duas raízes, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Ou seja:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação $ y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + \alpha y = 0 $ para y^prime prime + 2 y^prime + alpha y = 0 é:
alpha < 1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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