Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de
.
Passo 1
O enunciado pede para colocar em forma de variáveis separáveis e resolver a EDO
O conteúdo é EDOs de variáveis separáveis: vamos isolar os termos em x com dx e os termos em y com dy.
Passo 2
Primeiro reescrevemos dividindo ambos os lados por
, obtendo duas partes que dependem separadamente de x e y:
Passo 3
Passamos um termo pro outro sinal trocando o sinal eparamos as integrais:
Notamos que
Passo 4
Agora calculamos cada integral usando substituições do tipo
e
:
Passo 5
Somando as duas partes seguindo a equação separada, temos
onde
é constante de integração. Podemos escrever de forma mais positiva:
com
.
Passo 6
Para obter y explicitamente em função de x basta isolar
:
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Tomando logaritmo, obtemos a família explícita.
Passo 7
Assim, a solução geral implícita e explícita é dada por:
Resposta
Implícita: (\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}+\dfrac{1}{e^{y}+1}=K.\
Explícita: \displaystyle y(x)=\ln!\Biggl(\frac{1-K+\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}}{K-\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}}\Biggr),\quad K\in\mathbb{R}.
Explícita: \displaystyle y(x)=\ln!\Biggl(\frac{1-K+\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}}{K-\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}}\Biggr),\quad K\in\mathbb{R}.