Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
(e^y+1)^2 e^-y d x+(e^x+1)^3 e^-x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para colocar em forma de variáveis separáveis e resolver a EDO
(e^y+1)^2e^-y,dx+(e^x+1)^3e^-x,dy=0
O conteúdo é EDOs de variáveis separáveis: vamos isolar os termos em x com dx e os termos em y com dy.

Passo 2

Primeiro reescrevemos dividindo ambos os lados por
(e^y+1)^2e^-y(e^x+1)^3e^-x, obtendo duas partes que dependem separadamente de x e y:
dx(e^x+1)^3e^-x+dy(e^y+1)^2e^-y=0

Passo 3

Passamos um termo pro outro sinal trocando o sinal eparamos as integrais:
integral dx(e^x+1)^3e^-x=-integral dy(e^y+1)^2e^-y
Notamos que
1(e^x+1)^3e^-x=e^x(e^x+1)^3, 1(e^y+1)^2e^-y=e^y(e^y+1)^2

Passo 4

Agora calculamos cada integral usando substituições do tipo u=e^x+1 e v=e^y+1:
integral e^x(e^x+1)^3,dx=integral duu^3=-12u^2=-12(e^x+1)^2,
integral e^y(e^y+1)^2,dy=integral dvv^2=-1v=-1e^y+1

Passo 5

Somando as duas partes seguindo a equação separada, temos
-12(e^x+1)^2-1e^y+1=C,
onde C é constante de integração. Podemos escrever de forma mais positiva:
12(e^x+1)^2+1e^y+1=K,
com K=-C.

Passo 6

Para obter y explicitamente em função de x basta isolar e^y+1:
1e^y+1=K-12(e^x+1)^2
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e^y+1=1K-12(e^x+1)^2,
e^y=1K-12(e^x+1)^2-1=1-K+dfrac12(e^x+1)^2K-dfrac12(e^x+1)^2
Tomando logaritmo, obtemos a família explícita.

Passo 7

Assim, a solução geral implícita e explícita é dada por:

Resposta

Implícita: (\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}+\dfrac{1}{e^{y}+1}=K.\
Explícita: \displaystyle y(x)=\ln!\Biggl(\frac{1-K+\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}}{K-\dfrac{1}{2(e{x}+1){2}}}\Biggr),\quad K\in\mathbb{R}.

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