Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
x y^4 d x+(y^2+2) e^-3 x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x,y^4,dx + (y^2+2)e^-3x,dy = 0
usando variáveis separáveis, e, quando possível, expressar a família de soluções como funções explícitas de x. Vamos precisar identificar que a equação é separável, rearranjar para isolar termos em x de um lado e termos em y do outro, e depois integrar cada parte.

Passo 2

Começamos por separar as variáveis. Podemos reescrever
x,y^4,dx = -(y^2+2)e^-3x,dy
Multiplicando ambos os lados por e^3x e dividindo por y^4 temos
x,e^3x,dx = -y^2+2y^4,dy = -l(y^-2 + 2y^-4r),dy

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado de x usamos integração por partes em
integral x,e^3x,dx,
onde tomamos u = x e dv = e^3xdx. Isso dá
integral x,e^3x,dx = x e^3x3 - integral e^3x3,dx = x e^3x3 - e^3x9 + C1
No lado de y integramos diretamente potências:
integrall(y^-2+2y^-4r)dy = -y^-1 - 23y^-3 + C2
Como havia um sinal negativo, o resultado do lado direito fica
-integrall(y^-2+2y^-4r)dy = y^-1 + tfrac23y^-3 + C

Passo 4

Juntando as integrais e absorvendo constantes em uma só C, obtemos a solução implícita
x e^3x3 - e^3x9 = y^-1 + 23y^-3 + C
Esta é a família geral de soluções.

Passo 5

Para isolar y explicitamente precisaríamos resolver
y^-1 + tfrac23y^-3 = x e^3x3 - e^3x9 - C,\nou seja, um polinômio cúbico em u=y^-1. A inversão exata dá raízes por fórmula de Cardano, então normalmente mantemos a forma implícita acima.

Resposta

A família geral de soluções fica implícita por
x e^3x3 - e^3x9 = y^-1 + 23y^-3 + C

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