Calcular o fluxo do vetor
através da superfície lateral do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do vetor
através da superfície lateral de um cone definido por
e
. Isso envolve assuntos de cálculo vetorial, especificamente fluxo através de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e usar a fórmula do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cone. A expressão
simplifica para
. Isso nos indica a forma do cone em função de
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície do cone. Uma forma comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas. Podemos expressar
(a distância do eixo
) em função de
. Sabendo que a inclinação do cone está relacionada a
, temos
.
Passo 4
Com a parametrização, definimos as coordenadas
,
e
em termos de
e de um ângulo
:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal à superfície. Calculamos os vetores tangentes em
e
e depois fazemos o produto vetorial:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar do vetor
com o vetor normal
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Observando que
, temos:
Passo 7
Finalmente, integramos sobre a superfície usando
de
a
e
de
a
:
Após integrar e simplificar os termos (considerando as integrais de
sobre
a
), obtemos:
Simplificando:
Resposta
O fluxo do vetor
através da superfície lateral do cone é
.