Coloque em evidência os fatores comuns:
-32(4 x^2-1)^-5 / 2(8 x)(1+x^2)^2 / 3+(4 x^2-1)^-3 / 2(23)(1+x^2)^-1 / 3(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para fatorar em evidência os fatores comuns da soma das duas expressões
-32(4x^2-1)^-5/2(8x)(1+x^2)^2/3 e (4x^2-1)^-3/2l(tfrac23r)(1+x^2)^-1/3(2x)
O conteúdo aqui envolve manipulação de potências de monômios e extração de fatores comuns.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever cada termo de forma mais simples:
-32cdot8x,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^2/3 =-12x,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^2/3,
(4x^2-1)^-3/2cdot23cdot2x,(1+x^2)^-1/3 =4x3,(4x^2-1)^-3/2(1+x^2)^-1/3

Passo 3

Agora identificamos os fatores comuns mínimos:
  • O menor expoente em (4x^2-1) é -5/2.
  • O menor expoente em (1+x^2) é -1/3.
  • Ambos têm fator x.
  • O maior divisor numérico comum entre -12 e 4/3 é 4/3.
Logo, fator comum será
4x3,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3

Passo 4

Faturando esse termo comum, cada parte interna fica:
-12x,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^2/3 =4x3(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3,l(-9(1+x^2)r),
4x3(4x^2-1)^-3/2(1+x^2)^-1/3 =4x3(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3,l((4x^2-1)r)
Assim a soma fica
4x3(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3l[-9(1+x^2)+(4x^2-1)r]

Passo 5

Por fim, simplificamos o interior:
-9(1+x^2)+(4x^2-1) =-9-9x^2+4x^2-1 =-10-5x^2 =-5(x^2+2)
Então a expressão fatorada é
4x3(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3,l[-5(x^2+2)r]

Resposta

-20x3,(4x^2-1)^-5/2,(1+x^2)^-1/3,(x^2+2)

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