26 integralC z e^-x y d s, onde C tem equações paramétricas x=t, y=t^2, z=e^-t, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
26integralC z,e^-xy,ds
onde a curva C é dada por
x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=e^-t, 0<= t<=1
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar, que se define por
integralC f(x,y,z),ds = integrala^b fl(x(t),y(t),z(t)r),raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2+l(z'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calcular as derivadas de x,y,z em função de t:
x'(t)=1, y'(t)=2t, z'(t)=-e^-t
Logo
ds = raiz(x')^2+(y')^2+(z')^2,dt =raiz1+(2t)^2+l(-e^-tr)^2,dt =raiz1+4t^2+e^-2t,dt

Passo 3

Avaliar o integrando z,e^-xy em termos de t:
z(t)=e^-t, xy = tcdot t^2 = t^3 Longrightarrow e^-xy=e^-t^3
Portanto
z(t),e^-x(t)y(t) = e^-t,e^-t^3 = e^-t-t^3

Passo 4

Substituindo tudo na integral de linha e multiplicando por 26, obtemos
26integralCz,e^-xy,ds =26integral0^1e^-t-t^3,raiz1+4t^2+e^-2t;dt

Resposta

26integral0^1e^-t-t^3,raiz1+4t^2+e^-2t;dt

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