Coloque na forma algébrica os seguintes números:
i^94-3 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa colocar o número na forma algébrica, ou seja, na forma , onde e são números reais. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre os números complexos e como trabalhar com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar i^1 = i i^2 = -1 i^3 = -i i^4 = 1 . Sabemos que é a unidade imaginária, e que . Isso significa que as potências de se repetem a cada 4:
Então, para calcular , podemos ver que dividido por dá um resto de . Assim, .

Passo 3

Agora que sabemos que i4 - 3i , nossa expressão fica:
Para colocar essa fração na forma algébrica, precisamos racionalizar o denominador. Isso significa eliminar o do denominador.

Passo 4

Para racionalizar o denominador i4 - 3i times 4 + 3i4 + 3i = i(4 + 3i)(4 - 3i)(4 + 3i) , vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é . Assim, multiplicamos a fração por :

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
(4 - 3i)(4 + 3i) = 4^2 - (3i)^2 = 16 - 9i^2
Sabemos que 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25 , então:
Então, o denominador é .

Passo 6

Agora, vamos calcular o numerador:
i(4 + 3i) = 4i + 3i^2 = 4i + 3(-1) = 4i - 3
Então, o numerador é .

Passo 7

Agora, juntando o numerador e o denominador, temos:
4i - 325 = -325 + 4i25
Podemos reescrever isso como:
-325 + 425i

Resposta

i^94 - 3i = -325 + 425i

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