Exercícios:
Faça um esboço da região D e calcule a área da região.
integral0^6 integraly^3 / 3^2 y d x d y,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região e calcular a área dela usando uma integral dupla. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e interpretar a região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral. A integral dada é:
integral0^6 integraly^33^2 y dx , dy
Isso significa que varia de 0 a 6, e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos desenhar a região no plano . Precisamos das equações das curvas que definem os limites de :
Vamos esboçar essas duas curvas para ver onde elas se intersectam entre e .

Passo 4

Encontrar o ponto de interseção das duas curvas:
y^33 = 2y
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
y^3 = 6y
Subtraindo y^3 - 6y = 0 implies y(y^2 - 6) = 0 de ambos os lados:
Então, as soluções são e . Como nosso intervalo é de 0 a 6, vamos considerar os pontos de interseção nesse intervalo.

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual curva está acima ou abaixo da outra:
  • Para ,
  • Para ,
Isso nos ajuda a entender como a região está delimitada.

Passo 6

Desenhando tudo isso, a região está entre e , e entre as curvas e . Visualmente, é uma área que se estende desde a origem até , com as curvas definindo os lados esquerdo e direito.

Passo 7

Agora, vamos calcular a área da região Área = integral0^6 integraly^33^2 y dx , dy usando a integral dupla:
integraly^33^2 y dx = 2y - y^33 Á
Integrando em relação a primeiro:

Passo 8

Agora, integramos isso em relação a Área = integral0^6 (2y - y^33) dy :
Área = integral0^6 2y , dy - integral0^6 y^33 , dy Á
Vamos separar a integral:
Á

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:

Passo 10

Subtraindo os resultados:
Área = 36 - 108 = -72 Á
No entanto, área não pode ser negativa, então consideramos o valor absoluto:
Área = 72 Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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