Exercícios:
Faça um esboço da região e calcule a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região e calcular a área dela usando uma integral dupla. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e interpretar a região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral. A integral dada é:
Isso significa que varia de 0 a 6, e para cada valor de , varia de até .
Passo 3
Vamos desenhar a região no plano . Precisamos das equações das curvas que definem os limites de :
Vamos esboçar essas duas curvas para ver onde elas se intersectam entre e .
Passo 4
Encontrar o ponto de interseção das duas curvas:
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as soluções são e . Como nosso intervalo é de 0 a 6, vamos considerar os pontos de interseção nesse intervalo.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual curva está acima ou abaixo da outra:
Para ,
Para ,
Isso nos ajuda a entender como a região está delimitada.
Passo 6
Desenhando tudo isso, a região está entre e , e entre as curvas e . Visualmente, é uma área que se estende desde a origem até , com as curvas definindo os lados esquerdo e direito.
Passo 7
Agora, vamos calcular a área da região usando a integral dupla:
Integrando em relação a primeiro:
Passo 8
Agora, integramos isso em relação a :
Vamos separar a integral:
Passo 9
Calculando cada integral separadamente:
Passo 10
Subtraindo os resultados:
Área = 36 - 108 = -72 Á
No entanto, área não pode ser negativa, então consideramos o valor absoluto: