Os pontos
e
são as extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro
e raio com medida de comprimento r. Determine uma equação da circunferência.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos extremos do diâmetro de uma circunferência e pede uma equação dessa circunferência. Informações fornecidas:
- Ponto
. - Ponto
. - Esses dois pontos são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro
e raio .
O que se pede:
- Determinar uma equação da circunferência (ou seja, uma relação entre
e que descreva todos os pontos da circunferência).
Passo 2
Ideia e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Se dois pontos
e são extremos de um diâmetro, o centro da circunferência é o ponto médio de e . Fórmula do ponto médio:
Aqui
são as coordenadas dos pontos dados; substituindo dá o centro.
- A distância entre dois pontos
e é dada pela fórmula da distância:
Para um diâmetro, o comprimento do diâmetro é essa distância; o raio
é metade dessa distância. Alternativamente, o raio também é a distância de
a
(ou a
).
- A equação canônica (centro-raio) de uma circunferência de centro
e raio é
onde
e
são as coordenadas do centro e
é o raio. Essa é a forma que vamos usar para escrever a equação final.
Passo 3
Calcular o centro
como o ponto médio de
e
. Aplicando a fórmula do ponto médio:
Portanto o centro é
.
Passo 4
Calcular o raio
. Primeiro calcule a distância
:
Como
é o diâmetro, o raio é metade:
Como checagem alternativa, calcular a distância de
a
:
confirma
.
Passo 5
Escrever a equação da circunferência usando a forma centro-raio com
e
:
Se for necessário apresentar a forma geral (expandida), expandimos: