Os pontos A(4,-2) e B(2,0) são as extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro \mathrm{C}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) e raio com medida de comprimento r. Determine uma equação da circunferência.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos extremos do diâmetro de uma circunferência e pede uma equação dessa circunferência. Informações fornecidas:
  • Ponto A(4,-2).
  • Ponto B(2,0).
  • Esses dois pontos são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r.
O que se pede:
  • Determinar uma equação da circunferência (ou seja, uma relação entre x e y que descreva todos os pontos da circunferência).

Passo 2

Ideia e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Se dois pontos A(x_1,y_1) e B(x_2,y_2) são extremos de um diâmetro, o centro C da circunferência é o ponto médio de A e B. Fórmula do ponto médio:
\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
Aqui x_1,y_1,x_2,y_2 são as coordenadas dos pontos dados; substituindo dá o centro.
  • A distância entre dois pontos A(x_1,y_1) e B(x_2,y_2) é dada pela fórmula da distância:
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Para um diâmetro, o comprimento do diâmetro é essa distância; o raio r é metade dessa distância. Alternativamente, o raio também é a distância de C a A (ou a B).
  • A equação canônica (centro-raio) de uma circunferência de centro (h,k) e raio r é
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
onde h e k são as coordenadas do centro e r é o raio. Essa é a forma que vamos usar para escrever a equação final.

Passo 3

Calcular o centro C(a,b) como o ponto médio de A(4,-2) e B(2,0). Aplicando a fórmula do ponto médio:
a=\dfrac{4+2}{2}= \dfrac{6}{2}=3, \qquad b=\dfrac{-2+0}{2}= \dfrac{-2}{2}=-1.
Portanto o centro é C(3,-1).

Passo 4

Calcular o raio r. Primeiro calcule a distância AB:
AB=\sqrt{(2-4)^2+(0-(-2))^2}=\sqrt{(-2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Como AB é o diâmetro, o raio é metade:
r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Como checagem alternativa, calcular a distância de C(3,-1) a A(4,-2):
CA=\sqrt{(4-3)^2+(-2-(-1))^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},
confirma r=\sqrt{2}.

Passo 5

Escrever a equação da circunferência usando a forma centro-raio com C(3,-1) e r=\sqrt{2}:
(x-3)^2+(y+1)^2=(\sqrt{2})^2=2.
Se for necessário apresentar a forma geral (expandida), expandimos:
x^2-6x+9+y^2+2y+1=2
\Rightarrow x^2+y^2-6x+2y+8=0.

Resposta

(x-3)^2+(y+1)^2=2
x^2+y^2-6x+2y+8=0

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