Coloque na forma trigonométrica os números:
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede que ele seja colocado na forma trigonométrica.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
. - Queremos escrever
como , onde é o módulo e é o argumento (ângulo).
Passo 2
Definição e cálculo do módulo
.
A fórmula do módulo de um número complexo
é
onde
é a parte real e
a parte imaginária.
Aqui
e
. Então
Explicando devagar: primeiro elevou-se cada componente ao quadrado (o sinal negativo desaparece ao quadrado), somou-se e tirou-se a raiz quadrada. Resultado simples:
.
Passo 3
Definição e cálculo do argumento
.
Para
com
, costuma-se usar
Mas atenção: a função
retorna um ângulo cuja tangente tem o mesmo valor, porém é preciso ajustar o resultado para o quadrante correto, olhando os sinais de
e
.
Aqui
Sabemos que
. Como a tangente que obtivemos é negativa, o ângulo cuja tangente tem valor
pode estar no segundo ou no quarto quadrante. Para decidir, olhamos os sinais:
-
(parte real negativa), -
(parte imaginária positiva).
Portanto
está no segundo quadrante. O ângulo no segundo quadrante cujo valor absoluto da tangente é
é
Comentário amigável: a ideia é encontrar o ângulo de referência (aqui
) e então ajustar conforme o quadrante. No segundo quadrante fazemos
ângulo de referência.
Passo 4
Escrever a forma trigonométrica e conferir.
A forma trigonométrica é
Substituindo
e
obtemos
Vamos conferir calculando
e
de
:
Multiplicando por
:
Isso reconstrói exatamente
, logo a forma está correta.
Passo 5
Observações finais e forma geral.
- A forma trigonométrica principal (com
no intervalo ) que encontramos é
- Se quiser a forma geral com todos os argumentos possíveis, pode escrever
Força aí — essa conversão é muito útil em exercícios com multiplicação, divisão ou potenciação de complexos.