Coloque na forma trigonométrica os números:
-\sqrt{3}+i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo -\sqrt{3} + i e pede que ele seja colocado na forma trigonométrica.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: \Re(z) = -\sqrt{3}.
  • Parte imaginária: \Im(z) = 1.
  • Queremos escrever z como r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big), onde r é o módulo e \theta é o argumento (ângulo).

Passo 2

Definição e cálculo do módulo r.
A fórmula do módulo de um número complexo z = a + ib é
r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}},
onde a é a parte real e b a parte imaginária.
Aqui a = -\sqrt{3} e b = 1. Então
r = \sqrt{(-\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.
Explicando devagar: primeiro elevou-se cada componente ao quadrado (o sinal negativo desaparece ao quadrado), somou-se e tirou-se a raiz quadrada. Resultado simples: r=2.

Passo 3

Definição e cálculo do argumento \theta.
Para z = a + ib com a\neq 0, costuma-se usar
\tan\theta = \frac{b}{a}.
Mas atenção: a função \arctan retorna um ângulo cuja tangente tem o mesmo valor, porém é preciso ajustar o resultado para o quadrante correto, olhando os sinais de a e b.
Aqui
\frac{b}{a}=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabemos que \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}. Como a tangente que obtivemos é negativa, o ângulo cuja tangente tem valor -\tfrac{1}{\sqrt{3}} pode estar no segundo ou no quarto quadrante. Para decidir, olhamos os sinais:
  • a=\Re(z)=-\sqrt{3}<0 (parte real negativa),
  • b=\Im(z)=1>0 (parte imaginária positiva).
Portanto z está no segundo quadrante. O ângulo no segundo quadrante cujo valor absoluto da tangente é \tfrac{1}{\sqrt{3}} é
\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.
Comentário amigável: a ideia é encontrar o ângulo de referência (aqui \pi/6) e então ajustar conforme o quadrante. No segundo quadrante fazemos \pi - ângulo de referência.

Passo 4

Escrever a forma trigonométrica e conferir.
A forma trigonométrica é
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{5\pi}{6} obtemos
z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right).
Vamos conferir calculando \cos e \sin de \dfrac{5\pi}{6}:
\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}.
Multiplicando por 2:
2\cos\frac{5\pi}{6} = 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}, \qquad 2\sin\frac{5\pi}{6} = 2\cdot\frac{1}{2}=1.
Isso reconstrói exatamente -\sqrt{3} + i, logo a forma está correta.

Passo 5

Observações finais e forma geral.
  • A forma trigonométrica principal (com \theta no intervalo 0\le\theta<2\pi) que encontramos é
2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right).
  • Se quiser a forma geral com todos os argumentos possíveis, pode escrever
z = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)\right),\quad k\in\mathbb{Z}.
Força aí — essa conversão é muito útil em exercícios com multiplicação, divisão ou potenciação de complexos.

Resposta

2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)

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