Coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, justificando suas respostas verdadeiras e reescrevendo as falsas para que se tornem verdadeiras.
Por dois pontos passa uma única reta.
Por dois pontos passa uma única reta.
Passo 1
O enunciado é a frase: “Por dois pontos passa uma única reta.”
O que a tarefa pede: colocar V (verdadeira) ou F (falsa) para essa afirmação, justificar a escolha e, se a afirmação for falsa, reescrevê‑la de modo que fique verdadeira.
Informações dadas explicitamente no enunciado: nenhuma além da própria frase. Não foi dito que os dois pontos são distintos nem que são coincidentes — portanto a frase deve ser avaliada em todos os casos possíveis.
O que a tarefa pede: colocar V (verdadeira) ou F (falsa) para essa afirmação, justificar a escolha e, se a afirmação for falsa, reescrevê‑la de modo que fique verdadeira.
Informações dadas explicitamente no enunciado: nenhuma além da própria frase. Não foi dito que os dois pontos são distintos nem que são coincidentes — portanto a frase deve ser avaliada em todos os casos possíveis.
Passo 2
Vamos entender direitinho os termos da frase (explicação passo a passo e com calma):
- “Ponto”: um lugar no plano ou no espaço sem dimensão (só posição). Vou chamar pontos por letras como
e . - “Reta”: coleção de pontos alinhados que se estende indefinidamente em duas direções; escrevo uma reta como
. - “Passa por”: dizer "a reta
passa por " significa que pertence à reta . - “Única reta”: quer dizer “existe exatamente uma reta” que satisfaz a propriedade.
Importante: a frase não especifica se os dois pontos são distintos. Isso importa porque o comportamento muda se os dois “pontos” forem, na verdade, o mesmo ponto repetido.
Passo 3
Analisando o caso especial em que os dois pontos coincidem (ou seja, escolhemos os pontos
e
, o mesmo ponto duas vezes). Nesse caso o enunciado diz essencialmente “por um ponto passa uma única reta”. Isso é falso: por um único ponto é possível traçar infinitas retas diferentes — basta variar a direção da reta passando por aquele ponto. Portanto, considerando essa possibilidade, a frase original é falsa.
Exemplo concreto e intuitivo: tome um ponto
no papel. Pode desenhar uma reta que passe por
com qualquer inclinação; há infinitas inclinações possíveis, logo infinitas retas passando por
.
Passo 4
Concluímos que a afirmação, tal como escrita (sem exigência de que os pontos sejam distintos), é falsa. Portanto devemos marcar F e reescrever a frase para que fique verdadeira.
Antes de reescrever, apresento a versão correta e amplamente usada na geometria euclidiana e sua justificativa:
Passo 5
Versão correta (axioma/postulado): “Por dois pontos distintos passa uma única reta.”
Explicando por que essa versão é verdadeira:
Explicando por que essa versão é verdadeira:
- Existência: dado dois pontos distintos
e , existe pelo menos uma reta que passa por ambos — isso pode ser visto construindo a reta que liga e . - Unicidade: não pode haver duas retas diferentes que passam pelos mesmos dois pontos distintos. Se houvesse duas retas
e distintas que contivessem e , então e teriam ao menos esses dois pontos em comum; na geometria euclidiana uma consequência das definições/postulados é que duas retas distintas não podem ter dois pontos em comum (se têm dois pontos em comum, então coincidem), logo e seriam a mesma reta — contradizendo a hipótese de que eram distintas. Assim a reta que passa por e é única.
Observação didática: muitas vezes em provas usa‑se diretamente o postulado/axioma “por dois pontos distintos passa exatamente uma reta”. Nas resoluções, quando for necessário, pode-se justificar a unicidade com argumentos de construção/algebra (ex.: na geometria analítica a reta que passa por
e
com
tem equação única etc.), mas no nível elementar é aceitável invocar o postulado.
Passo 6
Resumo final e reescritura exigida pela questão:
- A frase original é falsa porque não exige que os pontos sejam distintos; para o caso de dois pontos coincidentes ela falha (há infinitas retas passando por um único ponto).
- A forma correta e verdadeira é: “Por dois pontos distintos passa uma única reta.”
Resposta
F
Por dois pontos distintos passa uma única reta.
Por dois pontos distintos passa uma única reta.