Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de aço circular e por um bloco de concreto. A coluna tem diâmetro externo
e suporta uma carga
.
a) Se a tensão admissível da coluna é 55 MPa , qual é a espessura
a) Se a tensão admissível da coluna é 55 MPa , qual é a espessura
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma coluna de aço com seção circular vazada, ou seja, é como se fosse um tubo. Ela está suportando uma carga de 750 kN e tem um diâmetro externo de 250 mm. O que queremos descobrir é a espessura da parede dessa coluna, sabendo que a tensão admissível é de 55 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, principalmente envolvendo cálculo de área e tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tensão (
) é definida como a força (
) dividida pela área (
) sobre a qual essa força está atuando:
Como queremos encontrar a espessura da coluna, vamos reorganizar essa fórmula para resolvermos para
:
Aqui,
(convertendo kN para N) e
.
Passo 3
Calculando a área admissível:
Essa é a área mínima necessária para suportar a carga sem exceder a tensão admissível.
Passo 4
Agora, vamos considerar a geometria da coluna vazada. A área da seção transversal de uma coluna circular vazada é dada por:
onde
é o diâmetro externo e
é o diâmetro interno. Sabemos que:
Aqui,
é a espessura da parede que queremos encontrar. Substituindo
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro dos parênteses:
Então, a área fica:
Passo 6
Agora, igualamos essa expressão à área admissível que calculamos anteriormente:
Substituindo
:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Reorganizando a equação:
Isso é uma equação quadrática na forma
.
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Calculando o discriminante:
Então:
Desprezamos a solução negativa, pois a espessura não pode ser negativa:
Resposta
A espessura da parede da coluna é aproximadamente 18,8 mm.