Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de aço circular e por um bloco de concreto. A coluna tem diâmetro externo de=250 mm e suporta uma carga P=750 kN.
a) Se a tensão admissível da coluna é 55 MPa , qual é a espessura

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma coluna de aço com seção circular vazada, ou seja, é como se fosse um tubo. Ela está suportando uma carga de 750 kN e tem um diâmetro externo de 250 mm. O que queremos descobrir é a espessura da parede dessa coluna, sabendo que a tensão admissível é de 55 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, principalmente envolvendo cálculo de área e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão ( sigma) é definida como a força ( P) dividida pela área ( A) sobre a qual essa força está atuando:
sigma = PA
Como queremos encontrar a espessura da coluna, vamos reorganizar essa fórmula para resolvermos para A:
A = Psigma
Aqui, P = 750,000, N (convertendo kN para N) e sigma = 55,MPa = 55,N/mm^2.

Passo 3

Calculando a área admissível:
A = 750,000,N55,N/mm^2 approx 13,636,36,mm^2
Essa é a área mínima necessária para suportar a carga sem exceder a tensão admissível.

Passo 4

Agora, vamos considerar a geometria da coluna vazada. A área da seção transversal de uma coluna circular vazada é dada por:
A = pi4 ( de^2 - di^2 )
onde de é o diâmetro externo e di é o diâmetro interno. Sabemos que:
di = de - 2t
Aqui, t é a espessura da parede que queremos encontrar. Substituindo di na fórmula da área:
A = pi4 ( de^2 - (de - 2t)^2 )

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro dos parênteses:
de^2 - (de - 2t)^2 = de^2 - ( de^2 - 4de t + 4t^2 ) = 4de t - 4t^2
Então, a área fica:
A = pi4 ( 4de t - 4t^2 ) = pi ( de t - t^2 )

Passo 6

Agora, igualamos essa expressão à área admissível que calculamos anteriormente:
pi ( de t - t^2 ) = 13,636,36,mm^2
Substituindo de = 250,mm:
pi (250t - t^2) = 13,636,36

Passo 7

Dividindo ambos os lados por pi para simplificar:
250t - t^2 = 13,636,36pi approx 4,340,mm^2
Reorganizando a equação:
t^2 - 250t + 4,340 = 0
Isso é uma equação quadrática na forma at^2 + bt + c = 0.

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -250 e c = 4,340:
t = 250 pm raiz250^2 - 4 times 1 times 4,3402
Calculando o discriminante:
raiz62,500 - 17,360 = raiz45,140 approx 212,43
Então:
t = 250 pm 212,432
Desprezamos a solução negativa, pois a espessura não pode ser negativa:
t = 250 - 212,432 approx 18,785,mm

Resposta

A espessura da parede da coluna é aproximadamente 18,8 mm.

Exercícios relacionados