A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimente-se ao longo do eixo x. Se considerarmos que ela está fixa na base, determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada. Use um fator de segurança para flambagem FS =3.
l Ea l=70 G P a sigmae=215 M P a A=7,5(10^-3) m^2 Ix=61,3(10^-6) m^4 Iy=23,2(10^-6) m^4
(a)
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma coluna de alumínio que está fixa na base e o topo está segurado por cabos para não se mover na direção do eixo x. A pergunta aqui é: qual é a maior carga P que essa coluna pode suportar sem falhar, considerando um fator de segurança (FS) de 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estabilidade de colunas e flambagem, mais especificamente a fórmula de Euler para flambagem de colunas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é flambagem. Flambagem ocorre quando uma coluna submetida a uma carga axial compressiva se deforma lateralmente, mesmo que a carga não ultrapasse a resistência do material. Para prevenir isso, usamos a fórmula de Euler, que nos dá a carga crítica de flambagem ( Pcr). A fórmula é:
Pcr = pi^2 E I(K L)^2
Onde:
  • E é o módulo de elasticidade do material,
  • I é o momento de inércia da seção transversal da coluna,
  • K é o fator de comprimento efetivo (para uma coluna fixa em uma extremidade e livre na outra, K=2),
  • L é o comprimento da coluna.

Passo 3

No nosso caso, a coluna está fixa na base e o topo está ancorado, o que significa que ela está efetivamente empenada na direção x. Vamos considerar que o fator K seja 1 para simplificar, já que a coluna está ancorada de forma a impedir movimentação nessa direção específica.

Passo 4

Agora, substituímos os valores que temos na fórmula. O módulo de elasticidade do alumínio ( Eal) é 70, GPa, que é igual a 70 times 10^9, Pa. O momento de inércia ( I) que vamos usar é o Ix = 61,3 times 10^-6, m^4.
Pcr = pi^2 times 70 times 10^9, Pa times 61,3 times 10^-6, m^4L^2

Passo 5

Como queremos a carga admissível P, que é a carga máxima que a coluna pode suportar com segurança, precisamos considerar o fator de segurança (FS). A carga admissível é dada por:
P = PcrFS
Sabemos que FS = 3, então:
P = pi^2 times 70 times 10^9, Pa times 61,3 times 10^-6, m^43 times L^2

Passo 6

Simplificando a expressão:
P = pi^2 times 70 times 10^9 times 61,3 times 10^-63 times L^2
P = pi^2 times 70 times 61,3 times 10^33 times L^2
P approx pi^2 times 42913 times L^2
P approx 13480 L^2 , N

Resposta

A maior carga admissível P que pode ser aplicada na coluna é aproximadamente 13480L^2 newtons, onde L é o comprimento da coluna em metros.

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