Considere os pontos A=(1,2,1), B=(3,1,4), C=(6,3,2) e D=(4,6,3).
Encontre o volume do paralelepípedo que contém A B, A C e A D como arestas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem quatro pontos no espaço: $ A=(1,2,1) $, $ B=(3,1,4) $, $ C=(6,3,2) $ e $ D=(4,6,3) $. A tarefa é encontrar o volume do paralelepípedo formado pelas arestas $ \overrightarrow{AB} $, $ \overrightarrow{AC} $ e $ \overrightarrow{AD} $. Para isso, vamos precisar usar vetores e o produto misto, que é uma forma de calcular o volume desse paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores $ \overrightarrow{AB} $, $ \overrightarrow{AC} $ e $ \overrightarrow{AD} $. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ A $ das coordenadas de $ B $, $ C $ e $ D $.
AB
AC
AD

Passo 3

Agora que temos os vetores, vamos calcular o produto misto deles. O produto misto de três vetores $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $, e $ \mathbf{w} $ é dado pelo determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Esse determinante nos dá o volume do paralelepípedo.
u
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} $:
v
w
Volume = |AB cdot (AC times AD)|
AC times AD

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) $:
AB cdot (AC times AD)
AB cdot (-2, -7, 17) = 2 cdot (-2) + (-1) cdot (-7) + 3 cdot 17
= -4 + 7 + 51

Resposta

O volume do paralelepípedo é $ 54 $ unidades cúbicas.

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