Duas treliças espaciais são utilizadas para suportar igualmente uma placa sinalizadora uniforme de 500 N . Determine, para a estrutura ilustrada, as forças que atuam nas barras \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e AD . Escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nas juntas esféricas D, E, F.
Passo 1
O enunciado nos dá uma treliça espacial que conecta o nó A (no topo da placa) a três nós C, B e D, sendo que estes três nós estão presos à parede por juntas esféricas em C (reação \mathbf R_{E}), em B (reação \mathbf R_{F}) e em D (reação \mathbf R_{D}). A placa sinalizadora de 500,N é suportada igualmente pelas duas treliças, então, em cada treliça, há uma carga vertical descendente de 250,N aplicada em A. Precisamos:
Encontrar as forças internas nos membros AB, AC e AD.
Escrever as seis equações de equilíbrio (forças e momentos) que permitem determinar as reações em D, E e F.
Conteúdo: equilíbrio estático de nó em treliça espacial e equilíbrio de corpo rígido para reação em apoios esféricos.
Passo 2
Definimos um sistema de eixos com origem em A:
– eixo x apontando horizontalmente para trás, perpendicular ao plano da placa, positivo em direção ao triângulo C–B–D.
– eixo y lateral, positivo no sentido de B.
– eixo z vertical para cima.
Coordenadas dos nós (em metros), todas medidas a partir de A:
(O sinal negativo indica que AD está em compressão, enquanto AB e AC ficam em tração.)
Passo 6
Para encontrar as reações esféricas \mathbf R_{D}=(R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz}), \mathbf R_{E}=(R_{Ex},R_{Ey},R_{Ez}) em C e \mathbf R_{F}=(R_{Fx},R_{Fy},R_{Fz}) em B, usamos o corpo rígido (toda a treliça) em equilíbrio sob as forças externas (peso dividido e reações). São seis equações:
Σ Forças em x:
R_{Dx}+R_{Ex}+R_{Fx}=0.
Σ Forças em y:
R_{Dy}+R_{Ey}+R_{Fy}=0.
Σ Forças em z:
R_{Dz}+R_{Ez}+R_{Fz}=250.
4–6) Σ Momentos em torno de A (ou qualquer ponto) em cada eixo x,y,z:
onde \mathbf r_{D/A}=(2,0,0), \mathbf r_{C/A}=(2,-0.25,0.5), \mathbf r_{B/A}=(2,0.25,0.5).
Escrevendo componente a componente, obtemos as três equações de momento necessárias.
Com essas seis equações – três de forças e três de momentos – podemos resolver as seis componentes das reações em D, E e F.
Resposta
F_{AB}=F_{AC}\approx518{,}7\text{ N (tração)},\quad F_{AD}\approx1000\text{ N (compressão)}.çãã
Equações de equilíbrio para as reações em D, E e F: