1. Duas treliças espaciais são utilizadas para suportar igualmente uma placa sinalizadora uniforme de 500 N . Determine, para a estrutura ilustrada, as forças que atuam nas barras \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e AD . Escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nas juntas esféricas D, E, F.

Passo 1

O enunciado nos dá uma treliça espacial que conecta o nó A (no topo da placa) a três nós C, B e D, sendo que estes três nós estão presos à parede por juntas esféricas em C (reação \mathbf R_{E}), em B (reação \mathbf R_{F}) e em D (reação \mathbf R_{D}). A placa sinalizadora de 500,N é suportada igualmente pelas duas treliças, então, em cada treliça, há uma carga vertical descendente de 250,N aplicada em A. Precisamos:
  1. Encontrar as forças internas nos membros AB, AC e AD.
  2. Escrever as seis equações de equilíbrio (forças e momentos) que permitem determinar as reações em D, E e F.
Conteúdo: equilíbrio estático de nó em treliça espacial e equilíbrio de corpo rígido para reação em apoios esféricos.

Passo 2

Definimos um sistema de eixos com origem em A:
– eixo x apontando horizontalmente para trás, perpendicular ao plano da placa, positivo em direção ao triângulo C–B–D.
– eixo y lateral, positivo no sentido de B.
– eixo z vertical para cima.
Coordenadas dos nós (em metros), todas medidas a partir de A:
A=(0,\;0,\;0), \quad B=(2,\;0.25,\;0.5), \quad C=(2,\;-0.25,\;0.5), \quad D=(2,\;0,\;0).

Passo 3

Calculamos os vetores de cada membro e seus comprimentos:
\overrightarrow{AB}=(2,\;0.25,\;0.5), \quad \overrightarrow{AC}=(2,\;-0.25,\;0.5), \quad \overrightarrow{AD}=(2,\;0,\;0).
L_{AB}=\sqrt{2^2+0.25^2+0.5^2}=\sqrt{4{,}3125}\approx2{,}076, \quad L_{AC}=L_{AB}, \quad L_{AD}=2.
Dos quais obtemos os versores
\mathbf e_{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{L_{AB}} =(0{,}964,\;0{,}120,\;0{,}241),
\mathbf e_{AC}=(0{,}964,\;-0{,}120,\;0{,}241), \quad \mathbf e_{AD}=(1,\;0,\;0).

Passo 4

No nó A aplicamos a condição de equilíbrio vetorial
F_{AB}\,\mathbf e_{AB} +F_{AC}\,\mathbf e_{AC} +F_{AD}\,\mathbf e_{AD} +\mathbf F_{\rm ext} =\mathbf0,
onde \mathbf F_{\rm ext}=(0,0,-250) N.
Escrevendo as três componentes:
\begin{cases} \displaystyle 0{,}964\,F_{AB}+0{,}964\,F_{AC}+\;1\,F_{AD}=0, \\[6pt] \displaystyle 0{,}120\,F_{AB}-0{,}120\,F_{AC}+0\cdot F_{AD}=0, \\[6pt] \displaystyle 0{,}241\,F_{AB}+0{,}241\,F_{AC}+0\cdot F_{AD}-250=0. \end{cases}]

Passo 5

Da segunda equação \;0{,}120(F_{AB}-F_{AC})=0\implies F_{AB}=F_{AC}=F_t.
Substituindo na primeira:
1{,}928\,F_t+F_{AD}=0\quad\Longrightarrow\quad F_{AD}=-1{,}928\,F_t.
Na terceira:
0{,}482\,F_t=250 \;\Longrightarrow\; F_t=\frac{250}{0{,}482}\approx518{,}7\text{ N}.
Assim
F_{AB}=F_{AC}\approx518{,}7\text{ N}, \qquad F_{AD}\approx-1{,}928\cdot518{,}7\approx-1000\text{ N}.
(O sinal negativo indica que AD está em compressão, enquanto AB e AC ficam em tração.)

Passo 6

Para encontrar as reações esféricas \mathbf R_{D}=(R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz}), \mathbf R_{E}=(R_{Ex},R_{Ey},R_{Ez}) em C e \mathbf R_{F}=(R_{Fx},R_{Fy},R_{Fz}) em B, usamos o corpo rígido (toda a treliça) em equilíbrio sob as forças externas (peso dividido e reações). São seis equações:
  1. Σ Forças em x:
R_{Dx}+R_{Ex}+R_{Fx}=0.
  1. Σ Forças em y:
R_{Dy}+R_{Ey}+R_{Fy}=0.
  1. Σ Forças em z:
R_{Dz}+R_{Ez}+R_{Fz}=250.
4–6) Σ Momentos em torno de A (ou qualquer ponto) em cada eixo x,y,z:
\sum (\mathbf r_i\times \mathbf R_i) +\mathbf r_{A,\rm carga}\times (0,0,-250) =\mathbf0,
onde \mathbf r_{D/A}=(2,0,0), \mathbf r_{C/A}=(2,-0.25,0.5), \mathbf r_{B/A}=(2,0.25,0.5).
Escrevendo componente a componente, obtemos as três equações de momento necessárias.
Com essas seis equações – três de forças e três de momentos – podemos resolver as seis componentes das reações em D, E e F.

Resposta

F_{AB}=F_{AC}\approx518{,}7\text{ N (tração)},\quad F_{AD}\approx1000\text{ N (compressão)}.çãã
Equações de equilíbrio para as reações em D, E e F:
\begin{cases} R_{Dx}+R_{Ex}+R_{Fx}=0,\\\ R_{Dy}+R_{Ey}+R_{Fy}=0,\\\ R_{Dz}+R_{Ez}+R_{Fz}=250,\\\ \displaystyle \mathbf r_{D/A}\times \mathbf R_D +\mathbf r_{C/A}\times \mathbf R_E +\mathbf r_{B/A}\times \mathbf R_F +\mathbf r_{A,\rm carga}\times(0,0,-250) =\mathbf0\,. \end{cases}

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