Uma coluna de destilação é alimentada com 100 \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{h}^{-1} de uma mistura etanol (A) - água (B) no estado de vapor saturado. A fração molar de etanol na alimentação é \mathrm{z}_{\mathrm{A}}=0,4, enquanto no destilado deve ser \mathrm{x}_{\mathrm{AD}}= 0,8 . Sabendo-se que as correntes que deixam a coluna, isto é, o destilado D e o produto de fundo B , estão na forma de líquido saturado, que 95 \% do álcool presente na alimentação F deve ir para a corrente D e que a coluna opera a 101,3 \mathrm{kPa}. Pede-se:
(i) as vazões molares D e B e a fração molar \mathrm{x}_{\mathrm{AB}};
(ii) a razão de refluxo r , dado que \mathrm{rmín}=1,22í, utilizando \mathrm{r}=1,5 \mathrm{rmín}í
(iii) qual será o número de estágios ideais?
(iv) em que estágio deve ser introduzida a alimentação F ?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e dá várias informações. Vou organizar direitinho para não nos perder:
  • Dados numéricos fornecidos: F = 100\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}
z_A = 0{,}4
x_{A,D} = 0{,}8
A alimentação está em vapor saturado (isso significa que q=0, i.e. não entra líquido na coluna).
As correntes que saem (destilado D e fundo B) são líquido saturado.
Além disso, 95\% do álcool (espécie A) presente em F deve ir para D.
A pressão de operação é 101{,}3\\ \text{kPa} (1 atm).
Foi informado o refluxo mínimo \mathrm{r_{min}} = 1{,}22.
  • O que o enunciado pede:
    (i) as vazões molares D e B e a fração molar de etanol nos fundos x_{A,B};
    (ii) a razão de refluxo r, sendo solicitado usar \,r = 1{,}5\,r_{\min};
    (iii) o número de estágios ideais da coluna;
    (iv) em que estágio deve ser introduzida a alimentação F.
  • Observações importantes (sem resolver nada ainda):
    • Para (i) e (ii) só precisamos de balanços de massa simples e dos dados acima.
    • Para (iii) e (iv) precisamos de informações de equilíbrio vapor-líquido (curva VLE ou volatilidade relativa \alpha ou dados que permitam aplicar Fenske/Underwood/Gilliland ou McCabe–Thiele). O enunciado não fornece explicitamente curva VLE nem \alpha. Vou explicar isso com calma mais adiante; por enquanto listei o pedido e os dados.

Passo 2

Resolvendo a parte (i): balanços globais e de componente para obter D, B e x_{A,B}.
Primeiro, entenda a ideia (aula rápida de balanço):
  • Balanço total: todo o fluxo de entrada sai por D e B. Logo, F = D + B.Aqui F é conhecido.
  • Balanço de componente (álcool A): o fluxo molar de A na alimentação é F z_A. Parte disso vai para D e parte para B. Se sabemos a fração de A que vai para D, podemos achar D.
  • Se sabemos a quantidade de A em D e a concentração x_{A,D}, podemos achar D por D = \frac{\text{(kmol A em D)}}{x_{A,D}}.
Aplicando os números:
  • Moles de A na alimentação: F z_A = 100 \cdot 0{,}4 = 40\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}.
  • Como 95\% do álcool na alimentação vai para D, então kmol de A em D é \text{kmol A em D} = 0{,}95 \times 40 = 38\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}.
  • Assim a vazão de destilado D é D = \frac{38}{0{,}8} = 47{,}5\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}.(expliquei: dividimos a quantidade de mols de A na corrente D pela fração molar de A em D para obter o total molar de D.)
  • A vazão de fundos B vem do balanço total: B = F - D = 100 - 47{,}5 = 52{,}5\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}.
  • Agora a fração molar de A nos fundos x_{A,B}: quantidade de A nos fundos é o que sobrou: \text{kmol A em B} = 40 - 38 = 2\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}.Logo x_{A,B} = \frac{2}{52{,}5} \approx 0{,}038095\\ (\approx 0{,}0381).
Dica prática para prova: memorize a sequência — obtenha primeiro mols do componente na alimentação, aplique porcentagem para saber quanto vai ao destilado, depois divida pela composição do destilado para achar D; e o resto vem pelo balanço global.

Passo 3

Parte (ii): calcular a razão de refluxo pedida.
Aqui a instrução foi direta: usar \mathrm{r} = 1{,}5\,\mathrm{r_{min}} com \mathrm{r_{min}} = 1{,}22.
Cálculo:
r = 1{,}5 \times 1{,}22 = 1{,}83.
Comentário didático curto: a razão de refluxo r é a razão entre a vazão de refluxo (L) e a vazão de destilado (D), r = L/D. O refluxo mínimo \mathrm{r_{min}} é o menor refluxo em que ainda se consegue obter a composição desejada no topo; operar a um múltiplo de r_{min} (aqui 1{,}5\,r_{min}) é prática comum para garantir uma coluna “não excessivamente grande” enquanto mantém consumo de refluxo razoável.

Passo 4

Agora (iii) e (iv): explicação didática do que falta e por que não posso dar um número único sem mais dados.
A razão pela qual as partes (iii) e (iv) (número de estágios ideais e posição do estágio de alimentação) exigem informação extra é a seguinte — aula passo a passo sobre o que é necessário:
  • Para dimensionar número de pratos teóricos e localizar a posição da alimentação nós precisamos conhecer o equilíbrio vapor–líquido da mistura etanol–água na pressão de operação. Duas formas típicas de ter essa informação:
    1. a curva VLE y = f(x) experimental (grelha de dados ou equação), ou
    2. uma volatilidade relativa média \alpha constante (modelo simplificado) que permite usar a relação y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}para a curva de equilíbrio (isso é para o caso de \alpha constante e mistura binária idealizada).
  • Métodos práticos usados na prova:
    • Fenske: dá o número mínimo de estágios N_{\min} em refluxo total (situação de referência). Fórmula (para binária, \alpha constante) é N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_{A,D}/(1-x_{A,D})}{x_{A,B}/(1-x_{A,B})}\right)}{\ln(\alpha)}.Repare que aqui aparece \alpha: sem \alpha não dá para calcular N_{\min}.
    • Underwood: permite calcular r_{\min} a partir de \alpha e das composições (para misturas multicomponentes, é a forma típica). Ou seja, r_{\min} e \alpha estão conectados.
    • Gilliland: fornece a correlação entre o número real de estágios N (com refluxo finito r) e N_{\min} e r_{\min}. A correlação é gráfica (a famosa curva de Gilliland) — existem formas empíricas explícitas, mas todas requerem N_{\min} e r_{\min}.
    • McCabe–Thiele: método gráfico (ou numérico) que exige explicitamente a curva de equilíbrio y(x) e a linha de operação (que depende de r) e permite contar os pratos e localizar o prato de alimentação (interseção rectifying/stripping com a q-line). Novamente, sem y(x) não dá para cortar no gráfico.
  • Conclusão lógica: o enunciado nos deu \mathrm{r_{min}} mas NÃO forneceu \alpha nem a curva VLE. Essa informação é necessária para:
    • calcular N_{\min} (pela fórmula de Fenske precisa de \alpha);
    • aplicar Gilliland (precisa de N_{\min} e r_{\min});
    • ou aplicar McCabe–Thiele (precisa de y(x) para traçar escadas).
      Portanto, com os dados que você me deu, as partes (iii) e (iv) não têm uma resposta numérica única possível — elas dependem de dados de equilíbrio que não foram fornecidos.
Observação prática e empática: sei que isso é chato numa prova — normalmente o enunciado ou fornece a curva VLE / dados de Antoine / \alpha média, ou fornece N_{\min} ou r_{\min} e pede só aplicar Gilliland. Aqui deram só r_{\min} (útil) mas não deram \alpha ou a curva (essencial para calcular N_{\min}). Por isso eu não invento números soltos: prefiro te explicar certinho o que falta e como proceder.

Passo 5

O que eu faria na prova (passo-a-passo) caso você tivesse a curva VLE ou uma \alpha média — ensino prático para você aplicar na hora:
  • Se eu tivesse uma \alpha média (constante):
    1. Calcular N_{\min} com a fórmula de Fenske: N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_{A,D}/(1-x_{A,D})}{x_{A,B}/(1-x_{A,B})}\right)}{\ln(\alpha)}.Aqui x_{A,D} e x_{A,B} você já tem.
    2. Usar o r_{\min} (se não fosse dado, eu calcularia por Underwood usando \alpha); como no seu caso r_{\min} foi dado, manteria esse valor.
    3. Calcular X = \dfrac{r-r_{\min}}{r+1} com seu r.
    4. Usar a correlação de Gilliland (gráfico ou fórmula empírica) para obter Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1},onde Y é obtido a partir de X. Então resolver para N: N = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y}.
    5. Para localizar a placa de alimentação: traçar a q-line (para alimento em vapor saturado q=0, a q-line é horizontal em y=z_A), traçar a linha de operação de retificação y=\dfrac{r}{r+1}x + \dfrac{x_{A,D}}{r+1} e a linha de operação de estripagem (que passa pelo ponto (x_{A,B},y_\text{eq}(x_{A,B})) e pelo ponto de interseção com a q-line). Em McCabe–Thiele conta-se o número de degraus até a interseção com a q-line; a posição do degrau que cruza a q-line é a placa de alimentação.
  • Se eu tivesse a curva VLE y(x) (mais preciso):
    • Eu desenharia (ou computacionalmente trocaria) a curva y(x), as linhas de operação e, com o método de McCabe–Thiele, contaria os degraus (cada degrau = 1 estágio teórico). A interseção com a q-line indica o estágio de alimentação.

Resposta

(i) D=47{,}5\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}, B=52{,}5\\ \text{kmol}\cdot\text{h}^{-1}, x_{A,B}=0{,}038095\\ (\approx 0{,}0381)\n
(ii) r=1{,}83\n
(iii) Não é possível determinar numericamente o número de estágios ideais sem dados de equilíbrio vapor–líquido (curva VLE ou volatilidade relativa \alpha), pois métodos como Fenske/Gilliland ou McCabe–Thiele exigem esses dados.\n
(iv) Não é possível indicar numericamente o estágio de entrada da alimentação sem a curva VLE (ou \alpha); com a curva VLE usaríamos McCabe–Thiele e a q-line ( q=0) para localizar o estágio.

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