Leite escoa por uma serpentina constituída de um tubo de 25 cm de diâmetro interno, a uma taxa de 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A temperatura inicial do leite é de 49^{\circ} \mathrm{C} e deseja-se resfria-lo até 18^{\circ} \mathrm{C}, mergulhando a serpentina em um banho agitado de água, com temperatura constante de 10^{\circ} \mathrm{C}. Qual deverá ser o comprimento da serpentina? Assuma que o coeficiente global de transferência de calor do banho para o leite seja de 900\left(\mathrm{~J} / \mathrm{sm}^{2} \mathrm{~K}\right), e que o calor específico do leite seja de 3890 ( \mathrm{J} / \mathrm{kgK} ). ( \mathbf{L}=\mathbf{3 4 , 8 m} )

Passo 1

O que o problema pede: determinar o comprimento L da serpentina necessário para resfriar o leite de 49^\circ\mathrm{C} até 18^\circ\mathrm{C} quando a serpentina está imersa num banho à temperatura constante de 10^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
\dot m = 4\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica do leite)
D = 25\\ \mathrm{cm} = 0,25\\ \mathrm{m} (diâmetro interno do tubo — vou usar isto para achar o perímetro)
T_{\mathrm{in}} = 49^\circ\mathrm{C} (temperatura de entrada do leite)
T_{\mathrm{out}} = 18^\circ\mathrm{C} (temperatura desejada de saída)
T_b = 10^\circ\mathrm{C} (temperatura constante do banho)
U = 900\\ \mathrm{J/(s\,m^{2}\,K)} (coeficiente global de transferência de calor)
c = 3890\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (calor específico do leite)
Resumo do pedido: calcular L usando os dados acima.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial de balanço de energia — vou explicar passo a passo como montar a equação.
Considere um pequeno elemento de comprimento dx da serpentina. Em tempo dt, a quantidade de calor transferida do leite para o banho através da superfície lateral deste elemento é
\delta Q = U\,P\,dx\,(T(x)-T_b)\,dt,
onde
  • U é o coeficiente global (diz quanto de calor passa por unidade de área, por unidade de diferença de temperatura, por unidade de tempo);
  • P é o perímetro interno do tubo (área por comprimento, porque a área do elemento é Pdx);
  • T(x) é a temperatura do leite no ponto x ao longo da serpentina;
  • T_b é a temperatura do banho (aqui constante).
A perda de energia do fluido (por unidade de tempo) num elemento dx é também dada por
\dot m\,c\,\frac{dT}{dx}\,dx.
Assumindo fluxo unidimensional ao longo do tubo e que a variação de energia do fluido é igual ao calor transferido para o banho (sinal negativo porque o fluido perde energia), obtemos a equação de balanço
\dot m\,c\,\frac{dT}{dx} = -U\,P\,(T - T_b).
Explicando as variáveis:
  • \dot m é a vazão mássica (kg/s);
  • c é o calor específico (J/(kg K));
  • P é o perímetro do tubo: P=\pi D (m);
  • U tem unidades \mathrm{J/(s\,m^{2}\,K)} (mesmo que W/(m² K));
  • a equação é uma ODE linear de primeira ordem para T(x).

Passo 3

Resolver a equação diferencial — separação de variáveis e integração:
A equação pode ser escrita como
\frac{dT}{dx} = -\frac{U\,P}{\dot m\,c}\,(T - T_b).
Separo variáveis e integro do ponto de entrada ( x=0, T=T_{\mathrm{in}}) até a saída ( x=L, T=T_{\mathrm{out}}):
\int_{T_{\mathrm{in}}}^{T_{\mathrm{out}}}\frac{dT}{T-T_b} = -\frac{U\,P}{\dot m\,c}\int_{0}^{L} dx.
A integral do lado esquerdo é um logaritmo:
\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{out}}-T_b}{T_{\mathrm{in}}-T_b}\right) = -\frac{U\,P\,L}{\dot m\,c}.
Isolando L obtemos a fórmula usada para projetar o comprimento:
\boxed{\,L = -\frac{\dot m\,c}{U\,P}\,\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{out}}-T_b}{T_{\mathrm{in}}-T_b}\right)\,}
Interpretação física: a razão (T_{\mathrm{out}}-T_b)/(T_{\mathrm{in}}-T_b) mede quanto da diferença de temperatura inicial restou; o fator \dot m c/(U P) é uma “constante de comprimentos” que mistura a inércia térmica do fluido com a capacidade de transferência pela parede.

Passo 4

Calcular o perímetro P do tubo (dados: D=0,25\\ \mathrm{m}):
P = \pi D = \pi\cdot 0,25 \approx 0,785398\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular os termos numéricos que entram na fórmula.
Produto \dot m c:
\dot m\,c = 4\cdot 3890 = 15560\\ \mathrm{J/(s\,K)}.
Produto U\,P:
U\,P = 900\cdot 0,785398 \approx 706,858\\ \mathrm{J/(s\,m\,K)}.

Passo 6

Calcular as diferenças de temperatura e o logaritmo:
T_{\mathrm{in}}-T_b = 49-10 = 39\\ \mathrm{K},
T_{\mathrm{out}}-T_b = 18-10 = 8\\ \mathrm{K}.
Razão:
\frac{T_{\mathrm{out}}-T_b}{T_{\mathrm{in}}-T_b} = \frac{8}{39} \approx 0,205128.
Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{8}{39}\right) \approx -1,5837.

Passo 7

Substituir tudo na fórmula para L:
L = -\frac{15560}{706,858}\cdot(-1,5837).
Calcule passo a passo:
\frac{15560}{706,858} \approx 22,016,
22,016\cdot 1,5837 \approx 34,86\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (e considerando incertezas típicas em projeto), obtemos L \approx 34{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificação rápida de unidades e sentido físico:
  • O argumento do logaritmo é adimensional (tem razão entre temperaturas em K), ok.
  • O sinal dá L>0 porque o logaritmo foi negativo e há um menos na fórmula.
  • O valor faz sentido: com fluxo relativamente alto e uma diferença de temperatura moderada, precisamos de dezenas de metros de serpentina para resfriar até 18^\circ\mathrm{C}.
Força aí — tá pronto para anotar essa fórmula na prova e aplicar a conta passo a passo.

Resposta

L = 34{,}8\\ \mathrm{m}

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