Leite escoa por uma serpentina constituída de um tubo de 25 cm de diâmetro interno, a uma taxa de
. A temperatura inicial do leite é de
e deseja-se resfria-lo até
, mergulhando a serpentina em um banho agitado de água, com temperatura constante de
. Qual deverá ser o comprimento da serpentina? Assuma que o coeficiente global de transferência de calor do banho para o leite seja de
, e que o calor específico do leite seja de 3890 (
). (
)
Passo 1
O que o problema pede: determinar o comprimento
da serpentina necessário para resfriar o leite de
até
quando a serpentina está imersa num banho à temperatura constante de
.
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
(vazão mássica do leite)
(diâmetro interno do tubo — vou usar isto para achar o perímetro)
(temperatura de entrada do leite)
(temperatura desejada de saída)
(temperatura constante do banho)
(coeficiente global de transferência de calor)
(calor específico do leite)
Resumo do pedido: calcular
usando os dados acima.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial de balanço de energia — vou explicar passo a passo como montar a equação.
Considere um pequeno elemento de comprimento
da serpentina. Em tempo
, a quantidade de calor transferida do leite para o banho através da superfície lateral deste elemento é
onde
-
é o coeficiente global (diz quanto de calor passa por unidade de área, por unidade de diferença de temperatura, por unidade de tempo); -
é o perímetro interno do tubo (área por comprimento, porque a área do elemento é ); -
é a temperatura do leite no ponto ao longo da serpentina; -
é a temperatura do banho (aqui constante).
A perda de energia do fluido (por unidade de tempo) num elemento
é também dada por
Assumindo fluxo unidimensional ao longo do tubo e que a variação de energia do fluido é igual ao calor transferido para o banho (sinal negativo porque o fluido perde energia), obtemos a equação de balanço
Explicando as variáveis:
-
é a vazão mássica (kg/s); -
é o calor específico (J/(kg K)); -
é o perímetro do tubo: (m); -
tem unidades (mesmo que W/(m² K)); - a equação é uma ODE linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial — separação de variáveis e integração:
A equação pode ser escrita como
Separo variáveis e integro do ponto de entrada (
,
) até a saída (
,
):
A integral do lado esquerdo é um logaritmo:
Isolando
obtemos a fórmula usada para projetar o comprimento:
Interpretação física: a razão
mede quanto da diferença de temperatura inicial restou; o fator
é uma “constante de comprimentos” que mistura a inércia térmica do fluido com a capacidade de transferência pela parede.
Passo 4
Calcular o perímetro
do tubo (dados:
):
Passo 5
Calcular os termos numéricos que entram na fórmula.
Produto
:
Produto
:
Passo 6
Calcular as diferenças de temperatura e o logaritmo:
Razão:
Logaritmo natural:
Passo 7
Substituir tudo na fórmula para
:
Calcule passo a passo:
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (e considerando incertezas típicas em projeto), obtemos
.
Passo 8
Verificação rápida de unidades e sentido físico:
- O argumento do logaritmo é adimensional (tem razão entre temperaturas em K), ok.
- O sinal dá
porque o logaritmo foi negativo e há um menos na fórmula. - O valor faz sentido: com fluxo relativamente alto e uma diferença de temperatura moderada, precisamos de dezenas de metros de serpentina para resfriar até
.
Força aí — tá pronto para anotar essa fórmula na prova e aplicar a conta passo a passo.