Uma coluna de destilação com um condensador total e um refervedor parcial é usado para separar uma mistura etanol-água. A alimentação é constituída de
de etanol, vazão de
e temperatura de
. São desejadas uma composição de destilado de
de etanol e uma composição de fundo de
de etanol. A razão externa de refluxo é de
. Encontre a localização ótima para o prato de alimentação e o número total requerido de estágios de equilíbrio. A pressão de operação da coluna é de 1 atm . São dados a entalpia da corrente de alimentação a
como
e as entalpias do vapor e do líquido saturados nas condições da alimentação como
e
, respectivamente.
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Passo 1
Entendido o que o enunciado pede e os dados fornecidos. Vou listar com clareza as perguntas e todos os dados relevantes do enunciado, sem resolver nada ainda:
-
Perguntas pedidas:
- Encontrar a localização ótima (prato teórico) para a alimentação.
- Encontrar o número total requerido de estágios de equilíbrio (nº de pratos teóricos).
-
Dados fornecidos (vou escrever tudo explícito para não nos perder):
- Composição da alimentação: ) (mol fracção de etanol).
- Vazão da alimentação: ).
- Temperatura da alimentação: ).
- Destilado desejado (destilate): ) (mol fracção de etanol).
- Fundo (bottoms) desejado: ) (mol fracção de etanol).
- Razão externa de refluxo:
). (interpretei “razão externa de refluxo” como
). - Condensador total (ou seja,
no início do diagrama). - Refervedor parcial.
- Pressão de operação: ).
- Entalpias (todas em
): entalpia da alimentação a : ); entalpia do vapor saturado nas condições da alimentação: ); entalpia do líquido saturado nas condições da alimentação: ).
-
Observações importantes retiradas do enunciado:
- Temos uma coluna binária etanol-água.
- Não foi fornecida explicitamente nenhuma curva de equilíbrio (VLE) nem a volatilidade relativa
como função de composição/temperatura. Esses dados são essenciais para calcular, por exemplo, a curva de equilíbrio ou a volatilidade relativa média, que entram tanto no método gráfico de McCabe–Thiele quanto nas fórmulas de Fenske–Underwood–Gilliland (atalhos).
A resolução técnica começa no próximo passo.
Passo 2
Calcular o parâmetro
da alimentação usando as entalpias fornecidas — isso classifica termicamente a alimentação (saturada, superaquecida, sub-resfriada, etc.). Vou explicar o que é
, por que o usamos e mostrar a conta passo a passo.
-
O que é
?
é a fração molar da alimentação que entra como líquido na coluna, ou seja, a fração da alimentação que permanece como líquido no prato de entrada. Valores típicos: ) alimentação líquida saturada; ) alimentação parcialmente vaporizada; ) alimentação totalmente vapor; ) alimentação sub-resfriada (isto é, líquido sub-resfriado que precisa ser aquecido para começar a vaporizar); ) alimentação superaquecida (vapor superaquecido).
Saberé mandatório para traçar a reta -line no diagrama vs (McCabe–Thiele) e para contar a posição ótima da alimentação. -
Fórmula de
a partir de entalpias (forma usada quando nos dão entalpias do feed e das fases saturadas):
Aqui:
= entalpia da alimentação,
= entalpia do vapor saturado (na pressão/condições da alimentação),
= entalpia do líquido saturado.
- Substituindo os números (atenção às unidades; todas já em
):
Podemos simplificar a fração:
. Em valor decimal:
- Interpretação:
). Isso significa que a alimentação está sub-resfriada (subcooled liquid). Na prática: a alimentação entra como líquido mais frio do que o líquido saturado, logo parte do calor do sistema deve aquecê-la antes de vaporizar qualquer porção; em termos de diagrama
- , a -line será com inclinação positiva grande, slope = ), e cortará o plano de forma que muda o ponto de interseção das retas operacionais (isso afeta onde o prato de alimentação ótimo fica).
Passo 3
Fazer balanços de matéria para obter
e
(vazões de destilado e fundo). Isso é necessário para obter
(vazão de refluxo) e as correntes que aparecem nas retas operacionais.
- Balanço total:
. - Balanço de componente (etanol):
.
Usando
,
,
,
:
Componente:
Como
, substituindo:
- A partir de
, temos:
(Nota: para coluna com condensador total, a vazão de vapor na seção de cabeça
é aproximadamente
se considerarmos correntes ideais; isso é útil no balanço de fases, mas aqui precisamos só de
para a reta de operação de cabeça.)
Até aqui calculámos
,
,
e
. Esses passos foram completamente determinados pelos dados do enunciado.
Passo 4
Explicar que dados adicionais são absolutamente necessários para obter numericamente o número de pratos e a posição ótima da alimentação e por quê — e quais sono as alternativas de solução prática quando esses dados não aparecem explicitamente.
-
O que falta (e por que é essencial):
Para contar estágios (via McCabe–Thiele) ou aplicar as fórmulas de projeto (Fenske, Underwood, Gilliland), precisamos de informações sobre o equilíbrio líquido–vapor da mistura etanol–água à pressão de operação (). Especificamente, precisamos de uma das opções abaixo: - A curva de equilíbrio
(dados VLE) para etanol–água a 1 atm; ou - A volatilidade relativa constante média
(ou uma função ) para a faixa de composições entre e .
Sem esses dados não há como traçar a curva de equilíbrio nem determinar o número de etapas reais necessárias, porque a separação depende diretamente da diferença entre vapor e líquido (ou seja, deou ). As entalpias que nos deram foram suficientes para (classificação térmica) e para balanços de fluxo, mas não fornecem informação sobre as atividades de vapor/liquido. - A curva de equilíbrio
-
O que se costuma fazer em provas ou exercícios:
- Ou o enunciado fornece a curva VLE (ou tabela/figura) — então faz-se o método gráfico de McCabe–Thiele.
- Ou o enunciado nos dá/permite assumir uma volatilidade relativa constante
— então podemos usar o modelo de volatilidade constante e aplicar Fenske (para ), Underwood (para ) e Gilliland (para relacionar e ), ou realizar passos analíticos discretos do método de McCabe–Thiele usando a equação de equilíbrio . - Se nenhum dado VLE nem
for dado, a resposta numérica não é determinável unívocamente.
Portanto, para responder numericamente às perguntas (localização ótima do prato de alimentação e número total de estágios), precisamos de VLE ou de um valor/assunção para
. A partir daqui eu mostro exatamente o procedimento passo a passo que faria se tivéssemos VLE ou se aceitássemos a hipótese de volatilidade relativa constante — assim você pode aplicar isso na prova caso o seu professor forneça os dados, ou usar um valor típico de
(com a devida justificativa).
Passo 5
Método de solução que vou ensinar (sem ainda assumir nada): descrevo, passo a passo, as etapas que permitem chegar às respostas quando tivermos VLE ou
. Vou explicar cada fórmula, o que significa cada variável e como aplicar no papel (sem usar calculadora complicada). Esse é o “manual” que você levaria pra prova.
Vou seguir a sequência clássica para colunas binárias (Fenske–Underwood–Gilliland + localização de alimentação via McCabe–Thiele), porque é o método padrão em cursos de separação.
-
Fenske (nº mínimo de pratos em refluxo infinito / refluxo total):
- Objetivo: achar
(nº de pratos teóricos mínimo) para a separação e assumindo refluxo total (isto é, ). - Fórmula (para mistura binária com volatilidade relativa média
assumida constante):
- Significado de cada termo:
) e
) são as frações molares do componente mais volátil no destilado e no fundo;
é a volatilidade relativa média (razão assumida constante). Essa fórmula vem do balanço entre razão vapor-líquido em refluxo total.
- Objetivo: achar
-
Underwood (para
, refluxo mínimo): - Objetivo: calcular o refluxo mínimo
necessário para obter dado o alimento e a volatilidade (esta etapa exige a composição da alimentação e as volatilidades relativas). - Procedimento (resumo): resolve-se a equação de Underwood para a constante
(uma raiz) que satisfaz
e depois- Para mistura binária isso reduz a uma equação de segundo grau em
ou a uma forma facilmente solucionável numericamente; é método padrão em exercícios.
- Objetivo: calcular o refluxo mínimo
-
Gilliland (correlação para
com finito): - Objetivo: relacionar o número real de pratos
(com refluxo dado) com , e . Existe uma correlação empírica de Gilliland que dá a fração normalizada
e a relação (empírica) entree pode ser usada para encontrar . Na prática, isso é feito por gráfico (curva de Gilliland) ou por aproximações analíticas encontradas em livros-texto. - Explicação didática: quando
é muito grande, . Quando , . A correlação dá o valor intermediário para .
- Objetivo: relacionar o número real de pratos
-
Localização ótima do prato de alimentação (via McCabe–Thiele):
- Objetivo: determinar em qual nível (entre estágios teóricos) a alimentação deve ser introduzida para minimizar o número total de pratos.
- Procedimento: desenhar a curva de equilíbrio
, traçar a reta operativa da seção de cabeça (rectifying) e da seção de base (stripping) e a -line (com slope ). A interseção da -line com as retas operativas define o ponto de alimentação; a posição ótima costuma ser o nível (plato) mais próximo do ponto de interseção no diagrama McCabe–Thiele. Algoritmicamente: parte-se de e faz-se os “degraus” até cruzar a -line; o nível onde o degrau cruza a -line é o prato de alimentação. - Observação prática: para alimentação sub-resfriada (
) a -line tem inclinação positiva grande; geometricamente isso pode deslocar a posição ótima para mais abaixo na coluna (mais próximos do topo ou do fundo dependendo do caso). Na prova, desenhar em escala e contar degraus é a abordagem pedida.
Passo 6
Demonstração prática (aula-passeio): vou mostrar como aplicar os passos anteriores fazendo uma suposição razoável para a volatilidade relativa — isso é apenas um exemplo numérico ilustrativo para você entender o cálculo numérico final quando algum valor de
for fornecido. Vou explicitar que se estou assumindo algo e por que. Assim você terá o procedimento pronto para repetir com os dados exatos da sua prova.
- Escolha/justificativa da hipótese: não foi fornecido VLE nem
. Em muitos problemas didáticos sobre etanol–água a média efetiva, para a faixa de composições aqui (0,02 até 0,8), costuma ficar entre e dependendo da temperatura média de ebulição. Para fins de exemplo vou assumir (um valor típico usado em exercícios para etanol–água a pressão próxima a 1 atm e composições moderadas). Reforço: este é um exemplo ilustrativo; trocando os números mudam — mas o procedimento é o mesmo.
Agora aplico as fórmulas usando
. Mostro todos os cálculos para você saber exatamente o que fazer na prova quando tiver
ou dados VLE.
- Fenske — cálculo de
:
Substituindo
,
,
):
Interpretação: sob refluxo total precisaríamos de aproximadamente
estágios teóricos — na prática
é um limite inferior (não inteiro). Em provas costuma-se arredondar para
como o mínimo inteiro de pratos em refluxo total, mas para usar em correlações manteremos
.
-
Underwood — obter
(esquema didático, sem executar números fechados neste passo): - Para uma mistura binária com componentes “1” (etanol, light key) e “2” (água, heavy key), e assumindo
, , a equação de Underwood para é
ondee . Substitui-se e e resolve-se para numericamente. Depois: - Comentário importante: em muitos problemas binários simples, com
pequeno e razoavelmente alto, a solução de Underwood dá um pequeno. O processo é numérico (equação em ) mas trivial de resolver com uma calculadora. (Se quiser, eu executo esta conta numérica com — basta que eu prossiga com o exemplo.)
- Para uma mistura binária com componentes “1” (etanol, light key) e “2” (água, heavy key), e assumindo
-
Gilliland — conectar
, , , : - Depois de obter
resolve-se a correlação de Gilliland para obter (nº de estágios necessários) dado . A prática: define-se
e usa-se a curva empíricade Gilliland (ou uma forma analítica aproximada) para obter e, daí, . - Depois de obter
-
Localização do prato de alimentação (McCabe–Thiele):
- Com a curva de equilíbrio
(ou com a forma analítica se assumirmos constante), traça-se: a curva de equilíbrio, a diagonal , a reta operativa de cabeça , a -line e a reta operativa de base (que passa por e pelo ponto de interseção da rectifying line com a q-line). O prato ótimo é o estágio onde o traçado dos degraus cruza a q-line — geometricamente o estágio que equilibra os fluxos e minimiza o número total. - Se
é assumida constante você pode programar/ou realizar iterações numéricas para contar degraus; se tiver apenas gráfico, desenhar e contar é a abordagem clássica.
- Com a curva de equilíbrio
Passo 7
Exemplo numérico completo (opcional) com
— eu executo as contas de Underwood e Gilliland aqui para que você veja o número final que obteríamos sob essa hipótese. Atenção: isto é um exemplo ilustrativo; trocando
os números mudam.
- Underwood (resolver para
): equação binária (com ):
Simplificando:
Resolver numericamente para
(busca entre
e
, normalmente). Teste rápido:
dá
— portanto
satisfaz exatamente. Assim,
. (Isto é conveniente e acontece nesta configuração de números.)
- Com
a fórmula de Underwood para (usando as composições de destilado e ) é:
Resultado:
. Interpretação: esta fórmula devolveu zero porque a composição do destilado
coincide com a composição que Underwood “espera” dado o feed; é um resultado aritmético que indica que, com as hipóteses feitas (especialmente
e a formulação), não há refluxo mínimo teórico positivo — este é um caso particular que pode ocorrer numericamente quando
igual a zero. Na prática, isto quer dizer que, com a hipótese grosseira adotada, a separação é possível mesmo com refluxo praticamente nulo (o que é fisicamente suspeito — outro sinal de que a suposição de
constante e a escolha numérica simplificaram demais o problema).
Observação importante: Underwood resultando em
é um sinal de que a hipótese de
constante e a composição escolhida deixam a equação degenerada; na prática é raro um
exatamente zero para separações relevantes — por isso é necessário usar valores de
vindos de dados VLE, não apenas um valor “típico” sem verificação.
-
Dado que
calculado dá 0 (sob esta hipótese), então a razão real de refluxo é muito maior que , o que implicaria um número de estágios relativamente próximo de . Usando a correlação de Gilliland (por exemplo via gráfico), para razões grandes em comparação com o número de estágios fica próximo de . Assim, sob esta hipótese numérica grosseira obteríamos um talvez entre e . Mas enfatizo: isto é apenas um palpite orientado por comportamento típico da correlação — o valor exato necessita a curva de Gilliland ou sua forma aproximada. -
Para localizar o prato de alimentação com
constante usa-se a equação de equilíbrio
Traçando retas operativas:
Com os números que já temos (
,
,
,
) pode-se construir numericamente as interseções e então contar degraus do diagrama para obter posição do prato. Fizemos o cálculo de
anteriormente e temos
e
— então, com
definido, é só traçar. Novamente: o valor numérico exato da posição em pratos reais dependerá de
(ou da curva VLE).
Resumo do exemplo: com a suposição
encontrei
,
calculado pela Underwood deu
(degenerado com essa suposição); portanto um cálculo numérico confiável do
requer dados de VLE reais ou uma melhor estimativa/modelo de
.
Passo 8
Conclusão pedagógica e instruções práticas para aplicar na prova (o que você deve fazer, exatamente, na sua folha):
-
Se na prova o enunciado fornecer a curva VLE (ou uma tabela), faça McCabe–Thiele gráfico:
- Calcule
via entalpias (já mostrei como) e desenhe a -line. - Desenhe a curva de equilíbrio
a partir dos dados VLE. - Trace a reta operativa da seção de cabeça:
. - Interseccione a
-line com a reta da cabeça para obter o ponto de alimentação; trace a reta de base passando por e pelo ponto de interseção feed/head. - Conte degraus entre
e separando acima e abaixo do ponto de alimentação; a contagem dá o número total de estágios e a posição do prato de alimentação é o estágio em que o degrau cruza a -line.
- Calcule
-
Se a prova pedir “usar Fenske–Underwood–Gilliland” e der
ou dados para estimá-la, faça: - Fenske para
(já dei a fórmula). - Underwood para
(resolva a equação para ). - Gilliland para o
real usando e , e a curva/correlação de Gilliland (ou aproximação analítica fornecida). - Localize a alimentação por McCabe–Thiele com a curva de equilíbrio (ou com a equação de
constante).
- Fenske para
-
Se em prova não fornecerem VLE nem
, explique (como eu fiz aqui) que não é possível obter números finais unívocos; daí, provavelmente o enunciado espera que se use uma das aproximações (VLE dado, ou assumido). Sempre justifique a suposição de se optar por ela.
Resposta
Não é possível determinar numericamente, de forma única e correta, a posição ótima do prato de alimentação nem o número total requerido de estágios sem informação sobre o equilíbrio líquido–vapor (curva VLE para etanol–água a
ou uma valorização/estimativa justificada da volatilidade relativa
).
Se você tiver a curva VLE ou um valor de , eu repito o procedimento numérico passo a passo usando esses dados e entrego a posição do prato e o número total de estágios.
Se você tiver a curva VLE ou um valor de