Uma coluna de destilação com um condensador total e um refervedor parcial é usado para separar uma mistura etanol-água. A alimentação é constituída de 20 \mathrm{~mol} \% de etanol, vazão de 1000 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} e temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. São desejadas uma composição de destilado de 80 \mathrm{~mol} \% de etanol e uma composição de fundo de 2 \mathrm{~mol} \% de etanol. A razão externa de refluxo é de 5 / 3. Encontre a localização ótima para o prato de alimentação e o número total requerido de estágios de equilíbrio. A pressão de operação da coluna é de 1 atm . São dados a entalpia da corrente de alimentação a 30^{\circ} \mathrm{C} como 15 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} e as entalpias do vapor e do líquido saturados nas condições da alimentação como 485 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} e 70 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg}, respectivamente.
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Passo 1

Entendido o que o enunciado pede e os dados fornecidos. Vou listar com clareza as perguntas e todos os dados relevantes do enunciado, sem resolver nada ainda:
  • Perguntas pedidas:
    1. Encontrar a localização ótima (prato teórico) para a alimentação.
    2. Encontrar o número total requerido de estágios de equilíbrio (nº de pratos teóricos).
  • Dados fornecidos (vou escrever tudo explícito para não nos perder):
    • Composição da alimentação: \(x_F = 0{,}20) (mol fracção de etanol).
    • Vazão da alimentação: \(F = 1000\\ \text{kmol/h}).
    • Temperatura da alimentação: \(T_F = 30^\circ\text{C}).
    • Destilado desejado (destilate): \(x_D = 0{,}80) (mol fracção de etanol).
    • Fundo (bottoms) desejado: \(x_B = 0{,}02) (mol fracção de etanol).
    • Razão externa de refluxo: \(R = \dfrac{L}{D} = \dfrac{5}{3}). (interpretei “razão externa de refluxo” como L/D).
    • Condensador total (ou seja, y_D = x_D no início do diagrama).
    • Refervedor parcial.
    • Pressão de operação: \(1\\ \text{atm}).
    • Entalpias (todas em \text{kcal/kg}): entalpia da alimentação a 30^\circ\text{C}: \(h_F = 15\\ \text{kcal/kg}); entalpia do vapor saturado nas condições da alimentação: \(h_V^{\text{sat}} = 485\\ \text{kcal/kg}); entalpia do líquido saturado nas condições da alimentação: \(h_L^{\text{sat}} = 70\\ \text{kcal/kg}).
  • Observações importantes retiradas do enunciado:
    • Temos uma coluna binária etanol-água.
    • Não foi fornecida explicitamente nenhuma curva de equilíbrio (VLE) nem a volatilidade relativa \alpha como função de composição/temperatura. Esses dados são essenciais para calcular, por exemplo, a curva de equilíbrio y(x) ou a volatilidade relativa média, que entram tanto no método gráfico de McCabe–Thiele quanto nas fórmulas de Fenske–Underwood–Gilliland (atalhos).
A resolução técnica começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o parâmetro q da alimentação usando as entalpias fornecidas — isso classifica termicamente a alimentação (saturada, superaquecida, sub-resfriada, etc.). Vou explicar o que é q, por que o usamos e mostrar a conta passo a passo.
  • O que é q?
    q é a fração molar da alimentação que entra como líquido na coluna, ou seja, a fração da alimentação que permanece como líquido no prato de entrada. Valores típicos: \(q=1) alimentação líquida saturada; \(0<q<1) alimentação parcialmente vaporizada; \(q=0) alimentação totalmente vapor; \(q>1) alimentação sub-resfriada (isto é, líquido sub-resfriado que precisa ser aquecido para começar a vaporizar); \(q<0) alimentação superaquecida (vapor superaquecido).
    Saber q é mandatório para traçar a reta q-line no diagrama y vs x (McCabe–Thiele) e para contar a posição ótima da alimentação.
  • Fórmula de q a partir de entalpias (forma usada quando nos dão entalpias do feed e das fases saturadas):
q \;=\; \dfrac{h_F - h_V^{\text{sat}}}{h_L^{\text{sat}} - h_V^{\text{sat}}}.
Aqui: h_F = entalpia da alimentação, h_V^{\text{sat}} = entalpia do vapor saturado (na pressão/condições da alimentação), h_L^{\text{sat}} = entalpia do líquido saturado.
  • Substituindo os números (atenção às unidades; todas já em \text{kcal/kg}):
q \;=\; \dfrac{15 - 485}{70 - 485} \;=\; \dfrac{-470}{-415} \;=\; \dfrac{470}{415}.
Podemos simplificar a fração: 470/415 = 94/83. Em valor decimal:
q \;\approx\; 1{,}13253.
  • Interpretação: \(q \approx 1{,}133 > 1). Isso significa que a alimentação está sub-resfriada (subcooled liquid). Na prática: a alimentação entra como líquido mais frio do que o líquido saturado, logo parte do calor do sistema deve aquecê-la antes de vaporizar qualquer porção; em termos de diagrama y- x, a q-line será com inclinação positiva grande, slope = \dfrac{q}{q-1}), e cortará o plano de forma que muda o ponto de interseção das retas operacionais (isso afeta onde o prato de alimentação ótimo fica).

Passo 3

Fazer balanços de matéria para obter D e B (vazões de destilado e fundo). Isso é necessário para obter L (vazão de refluxo) e as correntes que aparecem nas retas operacionais.
  • Balanço total: \;F = D + B.
  • Balanço de componente (etanol): \;F x_F = D x_D + B x_B.
Usando F = 1000\\ \text{kmol/h}, x_F = 0{,}20, x_D = 0{,}80, x_B = 0{,}02:
Componente:
1000 \cdot 0{,}20 = D \cdot 0{,}80 + B \cdot 0{,}02.
Como B = 1000 - D, substituindo:
200 = 0{,}80 D + 0{,}02(1000 - D) = 0{,}80 D + 20 - 0{,}02 D = 0{,}78 D + 20.
0{,}78 D = 180 \quad\Rightarrow\quad D = \dfrac{180}{0{,}78} \approx 230{,}769\\ \text{kmol/h}.
B = 1000 - D \approx 769{,}231\\ \text{kmol/h}.
  • A partir de R = \dfrac{L}{D} = \dfrac{5}{3}, temos:
L = R\,D = \dfrac{5}{3}\cdot 230{,}769 \approx 384{,}615\\ \text{kmol/h}.
(Nota: para coluna com condensador total, a vazão de vapor na seção de cabeça V é aproximadamente V = L + D se considerarmos correntes ideais; isso é útil no balanço de fases, mas aqui precisamos só de L para a reta de operação de cabeça.)
Até aqui calculámos q, D, B e L. Esses passos foram completamente determinados pelos dados do enunciado.

Passo 4

Explicar que dados adicionais são absolutamente necessários para obter numericamente o número de pratos e a posição ótima da alimentação e por quê — e quais sono as alternativas de solução prática quando esses dados não aparecem explicitamente.
  • O que falta (e por que é essencial):
    Para contar estágios (via McCabe–Thiele) ou aplicar as fórmulas de projeto (Fenske, Underwood, Gilliland), precisamos de informações sobre o equilíbrio líquido–vapor da mistura etanol–água à pressão de operação ( 1\\ \text{atm}). Especificamente, precisamos de uma das opções abaixo:
    1. A curva de equilíbrio y = y(x) (dados VLE) para etanol–água a 1 atm; ou
    2. A volatilidade relativa constante média \alpha (ou uma função \alpha(x)) para a faixa de composições entre x_B e x_D.
    Sem esses dados não há como traçar a curva de equilíbrio nem determinar o número de etapas reais necessárias, porque a separação depende diretamente da diferença entre vapor e líquido (ou seja, de y(x) ou \alpha). As entalpias que nos deram foram suficientes para q (classificação térmica) e para balanços de fluxo, mas não fornecem informação sobre as atividades de vapor/liquido.
  • O que se costuma fazer em provas ou exercícios:
    • Ou o enunciado fornece a curva VLE (ou tabela/figura) — então faz-se o método gráfico de McCabe–Thiele.
    • Ou o enunciado nos dá/permite assumir uma volatilidade relativa constante \alpha — então podemos usar o modelo de volatilidade constante e aplicar Fenske (para N_{\min}), Underwood (para R_{\min}) e Gilliland (para relacionar R e N), ou realizar passos analíticos discretos do método de McCabe–Thiele usando a equação de equilíbrio y = \dfrac{\alpha x}{1 + (\alpha-1)x}.
    • Se nenhum dado VLE nem \alpha for dado, a resposta numérica não é determinável unívocamente.
Portanto, para responder numericamente às perguntas (localização ótima do prato de alimentação e número total de estágios), precisamos de VLE ou de um valor/assunção para \alpha. A partir daqui eu mostro exatamente o procedimento passo a passo que faria se tivéssemos VLE ou se aceitássemos a hipótese de volatilidade relativa constante — assim você pode aplicar isso na prova caso o seu professor forneça os dados, ou usar um valor típico de \alpha (com a devida justificativa).

Passo 5

Método de solução que vou ensinar (sem ainda assumir nada): descrevo, passo a passo, as etapas que permitem chegar às respostas quando tivermos VLE ou \alpha. Vou explicar cada fórmula, o que significa cada variável e como aplicar no papel (sem usar calculadora complicada). Esse é o “manual” que você levaria pra prova.
Vou seguir a sequência clássica para colunas binárias (Fenske–Underwood–Gilliland + localização de alimentação via McCabe–Thiele), porque é o método padrão em cursos de separação.
  1. Fenske (nº mínimo de pratos em refluxo infinito / refluxo total):
    • Objetivo: achar N_{\min} (nº de pratos teóricos mínimo) para a separação x_D e x_B assumindo refluxo total (isto é, R \to \infty).
    • Fórmula (para mistura binária com volatilidade relativa média \alpha assumida constante):
    N_{\min} \;=\; \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)}.
    • Significado de cada termo: \(x_D) e \(x_B) são as frações molares do componente mais volátil no destilado e no fundo; \alpha é a volatilidade relativa média (razão K_{\text{light}}/K_{\text{heavy}} assumida constante). Essa fórmula vem do balanço entre razão vapor-líquido em refluxo total.
  2. Underwood (para R_{\min}, refluxo mínimo):
    • Objetivo: calcular o refluxo mínimo R_{\min} necessário para obter x_D dado o alimento e a volatilidade (esta etapa exige a composição da alimentação z_i e as volatilidades relativas).
    • Procedimento (resumo): resolve-se a equação de Underwood para a constante \theta (uma raiz) que satisfaz
    \sum_{i} \dfrac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1,
    e depois
    R_{\min} \;=\; \sum_i \dfrac{\alpha_i y_{D,i}}{\alpha_i - \theta} \;-\; 1.
    • Para mistura binária isso reduz a uma equação de segundo grau em \theta ou a uma forma facilmente solucionável numericamente; é método padrão em exercícios.
  3. Gilliland (correlação para N com R finito):
    • Objetivo: relacionar o número real de pratos N (com refluxo R dado) com R, R_{\min} e N_{\min}. Existe uma correlação empírica de Gilliland que dá a fração normalizada
    X = \dfrac{R - R_{\min}}{R + 1},\qquad Y = \dfrac{N - N_{\min}}{N + 1},
    e a relação (empírica) entre X e Y pode ser usada para encontrar N. Na prática, isso é feito por gráfico (curva de Gilliland) ou por aproximações analíticas encontradas em livros-texto.
    • Explicação didática: quando R é muito grande, N \to N_{\min}. Quando R \to R_{\min}, N \to \infty. A correlação dá o valor intermediário para N.
  4. Localização ótima do prato de alimentação (via McCabe–Thiele):
    • Objetivo: determinar em qual nível (entre estágios teóricos) a alimentação deve ser introduzida para minimizar o número total de pratos.
    • Procedimento: desenhar a curva de equilíbrio y(x), traçar a reta operativa da seção de cabeça (rectifying) e da seção de base (stripping) e a q-line (com slope q/(q-1)). A interseção da q-line com as retas operativas define o ponto de alimentação; a posição ótima costuma ser o nível (plato) mais próximo do ponto de interseção no diagrama McCabe–Thiele. Algoritmicamente: parte-se de x_D e faz-se os “degraus” até cruzar a q-line; o nível onde o degrau cruza a q-line é o prato de alimentação.
    • Observação prática: para alimentação sub-resfriada ( q>1) a q-line tem inclinação positiva grande; geometricamente isso pode deslocar a posição ótima para mais abaixo na coluna (mais próximos do topo ou do fundo dependendo do caso). Na prova, desenhar em escala e contar degraus é a abordagem pedida.

Passo 6

Demonstração prática (aula-passeio): vou mostrar como aplicar os passos anteriores fazendo uma suposição razoável para a volatilidade relativa — isso é apenas um exemplo numérico ilustrativo para você entender o cálculo numérico final quando algum valor de \alpha for fornecido. Vou explicitar que se estou assumindo algo e por que. Assim você terá o procedimento pronto para repetir com os dados exatos da sua prova.
  • Escolha/justificativa da hipótese: não foi fornecido VLE nem \alpha. Em muitos problemas didáticos sobre etanol–água a \alpha média efetiva, para a faixa de composições aqui (0,02 até 0,8), costuma ficar entre 2{,}0 e 2{,}6 dependendo da temperatura média de ebulição. Para fins de exemplo vou assumir \alpha = 2{,}5 (um valor típico usado em exercícios para etanol–água a pressão próxima a 1 atm e composições moderadas). Reforço: este é um exemplo ilustrativo; trocando \alpha os números mudam — mas o procedimento é o mesmo.
Agora aplico as fórmulas usando \alpha = 2{,}5. Mostro todos os cálculos para você saber exatamente o que fazer na prova quando tiver \alpha ou dados VLE.
  1. Fenske — cálculo de N_{\min}:
N_{\min} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)}.
Substituindo \(x_D=0{,}80, x_B=0{,}02, \alpha=2{,}5):
\dfrac{x_D}{1-x_D} = \dfrac{0{,}80}{0{,}20} = 4,\qquad \dfrac{x_B}{1-x_B} = \dfrac{0{,}02}{0{,}98} \approx 0{,}020408.
\text{razão} = \dfrac{4}{0{,}020408} = 196.ã
N_{\min} = \dfrac{\ln(196)}{\ln(2{,}5)} \approx \dfrac{5{,}2781}{0{,}9163} \approx 5{,}76.
Interpretação: sob refluxo total precisaríamos de aproximadamente 5{,}76 estágios teóricos — na prática N_{\min} é um limite inferior (não inteiro). Em provas costuma-se arredondar para 6 como o mínimo inteiro de pratos em refluxo total, mas para usar em correlações manteremos N_{\min} = 5{,}76.
  1. Underwood — obter R_{\min} (esquema didático, sem executar números fechados neste passo):
    • Para uma mistura binária com componentes “1” (etanol, light key) e “2” (água, heavy key), e assumindo \alpha_1 = \alpha, \alpha_2 = 1, a equação de Underwood para \theta é
    z_1 \dfrac{\alpha}{\alpha - \theta} + z_2 \dfrac{1}{1 - \theta} = 1,
    onde z_1 = x_F e z_2 = 1-x_F. Substitui-se x_F e \alpha e resolve-se para \theta numericamente. Depois:
    R_{\min} = \sum_i \dfrac{\alpha_i\,y_{D,i}}{\alpha_i - \theta} - 1.
    • Comentário importante: em muitos problemas binários simples, com x_F pequeno e \alpha razoavelmente alto, a solução de Underwood dá um R_{\min} pequeno. O processo é numérico (equação em \theta) mas trivial de resolver com uma calculadora. (Se quiser, eu executo esta conta numérica com \alpha=2{,}5 — basta que eu prossiga com o exemplo.)
  2. Gilliland — conectar R, R_{\min}, N, N_{\min}:
    • Depois de obter R_{\min} resolve-se a correlação de Gilliland para obter N (nº de estágios necessários) dado R. A prática: define-se
    X = \dfrac{R - R_{\min}}{R + 1}, \qquad Y = \dfrac{N - N_{\min}}{N + 1},
    e usa-se a curva empírica Y = f(X) de Gilliland (ou uma forma analítica aproximada) para obter Y e, daí, N.
  3. Localização do prato de alimentação (McCabe–Thiele):
    • Com a curva de equilíbrio y(x) (ou com a forma analítica y = \dfrac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x} se assumirmos \alpha constante), traça-se: a curva de equilíbrio, a diagonal y=x, a reta operativa de cabeça y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1}, a q-line y = \dfrac{q}{q-1}x - \dfrac{x_F}{q-1} e a reta operativa de base (que passa por (x_B, x_B) e pelo ponto de interseção da rectifying line com a q-line). O prato ótimo é o estágio onde o traçado dos degraus cruza a q-line — geometricamente o estágio que equilibra os fluxos e minimiza o número total.
    • Se \alpha é assumida constante você pode programar/ou realizar iterações numéricas para contar degraus; se tiver apenas gráfico, desenhar e contar é a abordagem clássica.

Passo 7

Exemplo numérico completo (opcional) com \alpha = 2{,}5 — eu executo as contas de Underwood e Gilliland aqui para que você veja o número final que obteríamos sob essa hipótese. Atenção: isto é um exemplo ilustrativo; trocando \alpha os números mudam.
  1. Underwood (resolver para \theta): equação binária (com z_1 = x_F = 0{,}20):
0{,}20\cdot \dfrac{2{,}5}{2{,}5 - \theta} + 0{,}80\cdot \dfrac{1}{1 - \theta} = 1.
Simplificando:
\dfrac{0{,}5}{2{,}5 - \theta} + \dfrac{0{,}8}{1 - \theta} = 1.
Resolver numericamente para \theta (busca entre -\infty e 1, normalmente). Teste rápido: \theta = 0 0{,}5/2{,}5 + 0{,}8 = 0{,}2 + 0{,}8 = 1{,}0 — portanto \theta = 0 satisfaz exatamente. Assim, \theta = 0. (Isto é conveniente e acontece nesta configuração de números.)
  1. Com \theta = 0 a fórmula de Underwood para R_{\min} (usando as composições de destilado y_{D,1} = x_D = 0{,}80 e y_{D,2} = 0{,}20) é:
R_{\min} = \sum_i \dfrac{\alpha_i y_{D,i}}{\alpha_i - \theta} - 1 = \dfrac{\alpha \, x_D}{\alpha - 0} + \dfrac{1 \cdot (1-x_D)}{1 - 0} - 1.
R_{\min} = \dfrac{2{,}5 \cdot 0{,}80}{2{,}5} + (1 - 0{,}80) - 1 = 0{,}80 + 0{,}20 - 1 = 0.
Resultado: R_{\min} = 0. Interpretação: esta fórmula devolveu zero porque a composição do destilado x_D coincide com a composição que Underwood “espera” dado o feed; é um resultado aritmético que indica que, com as hipóteses feitas (especialmente \alpha e a formulação), não há refluxo mínimo teórico positivo — este é um caso particular que pode ocorrer numericamente quando \theta igual a zero. Na prática, isto quer dizer que, com a hipótese grosseira adotada, a separação é possível mesmo com refluxo praticamente nulo (o que é fisicamente suspeito — outro sinal de que a suposição de \alpha constante e a escolha numérica simplificaram demais o problema).
Observação importante: Underwood resultando em R_{\min}=0 é um sinal de que a hipótese de \alpha constante e a composição escolhida deixam a equação degenerada; na prática é raro um R_{\min} exatamente zero para separações relevantes — por isso é necessário usar valores de \alpha vindos de dados VLE, não apenas um valor “típico” sem verificação.
  1. Dado que R_{\min} calculado dá 0 (sob esta hipótese), então a razão real de refluxo R = 5/3 \approx 1{,}667 é muito maior que R_{\min}, o que implicaria um número de estágios relativamente próximo de N_{\min}. Usando a correlação de Gilliland (por exemplo via gráfico), para razões R grandes em comparação com R_{\min} o número de estágios N fica próximo de N_{\min}. Assim, sob esta hipótese numérica grosseira obteríamos um N talvez entre 6 e 9. Mas enfatizo: isto é apenas um palpite orientado por comportamento típico da correlação — o valor exato necessita a curva de Gilliland ou sua forma aproximada.
  2. Para localizar o prato de alimentação com \alpha constante usa-se a equação de equilíbrio
y = \dfrac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)\,x}.
Traçando retas operativas:
\text{rectifying: } y = \dfrac{R}{R+1}\,x + \dfrac{x_D}{R+1},\qquad \text{q-line: } y = \dfrac{q}{q-1}\,x - \dfrac{x_F}{q-1}.
Com os números que já temos ( R, q, x_D, x_F) pode-se construir numericamente as interseções e então contar degraus do diagrama para obter posição do prato. Fizemos o cálculo de q anteriormente e temos R e x_D — então, com \alpha definido, é só traçar. Novamente: o valor numérico exato da posição em pratos reais dependerá de \alpha (ou da curva VLE).
Resumo do exemplo: com a suposição \alpha = 2{,}5 encontrei N_{\min}\approx 5{,}76, R_{\min} calculado pela Underwood deu 0 (degenerado com essa suposição); portanto um cálculo numérico confiável do N requer dados de VLE reais ou uma melhor estimativa/modelo de \alpha.

Passo 8

Conclusão pedagógica e instruções práticas para aplicar na prova (o que você deve fazer, exatamente, na sua folha):
  • Se na prova o enunciado fornecer a curva VLE (ou uma tabela), faça McCabe–Thiele gráfico:
    1. Calcule q via entalpias (já mostrei como) e desenhe a q-line.
    2. Desenhe a curva de equilíbrio y(x) a partir dos dados VLE.
    3. Trace a reta operativa da seção de cabeça: y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1}.
    4. Interseccione a q-line com a reta da cabeça para obter o ponto de alimentação; trace a reta de base passando por (x_B,x_B) e pelo ponto de interseção feed/head.
    5. Conte degraus entre x_D e x_B separando acima e abaixo do ponto de alimentação; a contagem dá o número total de estágios e a posição do prato de alimentação é o estágio em que o degrau cruza a q-line.
  • Se a prova pedir “usar Fenske–Underwood–Gilliland” e der \alpha ou dados para estimá-la, faça:
    1. Fenske para N_{\min} (já dei a fórmula).
    2. Underwood para R_{\min} (resolva a equação para \theta).
    3. Gilliland para o N real usando R e R_{\min}, e a curva/correlação de Gilliland (ou aproximação analítica fornecida).
    4. Localize a alimentação por McCabe–Thiele com a curva de equilíbrio (ou com a equação de \alpha constante).
  • Se em prova não fornecerem VLE nem \alpha, explique (como eu fiz aqui) que não é possível obter números finais unívocos; daí, provavelmente o enunciado espera que se use uma das aproximações (VLE dado, ou \alpha assumido). Sempre justifique a suposição de \alpha se optar por ela.

Resposta

Não é possível determinar numericamente, de forma única e correta, a posição ótima do prato de alimentação nem o número total requerido de estágios sem informação sobre o equilíbrio líquido–vapor (curva VLE para etanol–água a 1\\ \text{atm} ou uma valorização/estimativa justificada da volatilidade relativa \alpha).
Se você tiver a curva VLE ou um valor de \alpha, eu repito o procedimento numérico passo a passo usando esses dados e entrego a posição do prato e o número total de estágios.

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