Deseja-se usar um equipamento de destilação em batelada composto de um vaporizador e uma coluna equivalente a um estágio de equilíbrio para fazer a separação de uma solução aquosa de metanol. O condensador utilizado é total, a carga tem um teor de 57% molar de metanol e a pressão de trabalho é
. O refluxo é líquido saturado com uma razão de refluxo constante igual a 1,85 . Qual a quantidade final de líquido no vaporizador, a vazão de destilado e a composição média do destilado quando a composição do resíduo é
de metanol.
Dados de Equilíbrio do Sistema Metanol-Água a 1 atm (% molar de metanol)
x
0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
15,0
20,0
30,0
40,0
y
0
13,4
23,0
30,4
36,5
41,8
51,7
57,9
66,5
72,9
100
96,4
93,5
91,2
89,3
87,7
84,4
81,7
78,0
75,3
x
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
95,0
100,0
y
77,9
82,5
87,0
91,5
95,8
97,9
100,0
73,1
71,2
69,3
67,6
66,0
65,0
64,5
| x | 0 | 2,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 | 10,0 | 15,0 | 20,0 | 30,0 | 40,0 |
| y | 0 | 13,4 | 23,0 | 30,4 | 36,5 | 41,8 | 51,7 | 57,9 | 66,5 | 72,9 |
|
|
100 | 96,4 | 93,5 | 91,2 | 89,3 | 87,7 | 84,4 | 81,7 | 78,0 | 75,3 |
| x | 50,0 | 60,0 | 70,0 | 80,0 | 90,0 | 95,0 | 100,0 |
| y | 77,9 | 82,5 | 87,0 | 91,5 | 95,8 | 97,9 | 100,0 |
|
|
73,1 | 71,2 | 69,3 | 67,6 | 66,0 | 65,0 | 64,5 |
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo para não perder nada):
- Mistura: solução aquosa de metanol.
- Composição inicial da carga:
molar de metanol. - Pressão de trabalho:
(1 atm, já é a condição dos dados de equilíbrio fornecidos). - Coluna: equivalente a um estágio de equilíbrio (ou seja, uma única placa de equilíbrio entre vaporizador e condensador).
- Condensador total (o vapor condensado vira líquido que é dividido entre refluxo e destilado).
- Refluxo líquido saturado com razão de refluxo constante
(isto é, ). - Composição do resíduo final:
molar de metanol (este é o valor final ). - Fornecida a tabela de equilíbrio
para o sistema metanol-água a atm (vou usá-la para interpolar valores de a partir de ).
Observações / hipótese necessária (porque o enunciado não especifica a massa/mol inicial da carga): vou assumir uma carga inicial conveniente para trabalhar com porcentagens de forma direta. Portanto assumi
(ou seja, 100 mol totais na carga — isso facilita cálculos em
molares; os resultados podem ser escalados linearmente para outra carga).
Também interpretei “vazão de destilado” como a quantidade total de destilado produzido durante a operação (isto é, ), pois não foi dada informação sobre potência/tempo para obter uma vazão instantânea.
Também interpretei “vazão de destilado” como a quantidade total de destilado produzido durante a operação (isto é,
Agora que sabemos o que foi dado e as hipóteses que vou usar, começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Ideia geral do método (sem entrar ainda nas contas):
- Em destilação em batelada com condensador total e refluxo constante
, o equilíbrio entre o líquido no vaporizador e o destilado envolve a curva de equilíbrio e a linha de operação da seção rectificadora. - Para uma coluna equivalente a um estágio podemos escrever um balanço de massa no estágio para relacionar a composição do líquido no vaporizador
com a composição do destilado instantâneo . Esse depende de através da condição de equilíbrio e do balanço no estágio. - Com
conhecido, usamos a equação de Rayleigh (forma diferencial) para relacionar a variação da quantidade de líquido no vaporizador com a variação de composição: integraremos
- Daí obtemos
(quantidade final no vaporizador). O total de destilado é . A composição média do destilado é obtida pelo balanço de matéria do componente:
onde
e
são as frações molares iniciais e finais de metanol.
Agora vou desenvolver cada um desses itens com as fórmulas, interpolação nos dados de equilíbrio e a integração numérica necessária.
Passo 3
Derivar a relação entre
(composição do líquido no vaporizador) e
(composição instantânea do destilado) para a coluna de um estágio.
Definições:
-
= fração molar de metanol no líquido do vaporizador (em % molar para usar a tabela). -
= composição do vapor que sai do vaporizador (vapor em equilíbrio com ): (obtido pela tabela). -
= refluxo; = vazão de destilado; . -
= composição do líquido na placa (stage) imediatamente abaixo do condensador (aquela que depois desce para o vaporizador). -
= composição do destilado (vapor que sai do estágio e vai ao condensador; no condensador total vira destilado com essa composição).
Balanço de matéria do componente sobre o estágio (fluxos em mol/s, mas o fator de tempo cancela — usamos relações molares):
- Entradas de metanol no estágio:
, onde é o vapor ascendente vindo do vaporizador e é a composição do refluxo (como refluxo é condensado do destilado, ). - Saídas:
.
Portanto:
Como a vazão de vapor que sobe ao estágio é
, podemos dividir tudo por
e obter dependência apenas de
:
Além disso, o vapor que sai do estágio (que vira destilado) está em equilíbrio com esse líquido da placa, portanto
Juntando:
Isto é um sistema implícito para
dado
e
. Vou resolver numericamente por iteração fixa: dado
, calculo
, escolho
e iterativamente
até convergência.
Vou trabalhar as composições em
molares (como a tabela), mantendo consistência. Para referência numérica:
e
. Assim os coeficientes
Passo 4
Interpolação dos dados de equilíbrio (uso linear entre pontos vizinhos da tabela). Vou precisar de
para vários
entre
e
. Extraio alguns pontos relevantes da tabela e gero interpolações lineares:
Pontos da tabela relevantes (copiados do enunciado):
Também calculo o valor exato em
por interpolação entre 60 e 50:
(onde a inclinação entre 50 e 60 é
).
Agora aplico a iteração descrita no passo anterior para cada
de uma malha que me permite integrar a equação de Rayleigh com precisão razoável. Para reduzir trabalho manual escolhi os nós:
(
molar). Para cada nó sigo a iteração até convergência em
. Vou mostrar alguns passos das iterações (mantendo explicação didática, sem perder a objetividade).
Cálculos (resumo das iterações, valores arredondados com 2 decimais onde conveniente):
-
Para
: -
. - Iteração → convergência para
. - Portanto
.
-
-
Para
: -
. - Iteração →
. -
.
-
-
Para
: -
. - Iteração →
. -
.
-
-
Para
: -
. - Iteração →
. -
.
-
-
Para
: -
. - Iteração →
. -
.
-
-
Para
(ponto final): -
. - Iteração →
. -
.
-
Nota sobre as iterações: em cada nó eu calculei
por interpolação simples na tabela e então usei a rotina fixa:
até que
ficasse pequeno (convergência). Esse é um procedimento padrão e rápido quando se usa tabela/linearidade local.
Passo 5
Integração da equação de Rayleigh para obter
.
A forma de Rayleigh (no arranjo usado) é
Já calculamos nos nós os valores de
. Vou integrar numericamente por trapézios usando os nós listados. Intervalos e contribuições:
- De
a : largura , média de = . Contribuição = . - De
a : largura , média . Contribuição = . - De
a : largura , média . Contribuição = . - De
a : largura , média . Contribuição = . - De
a : largura , média . Contribuição = .
Somando as contribuições:
Portanto
Com
(hipótese), obtemos
Quantidade de destilado total:
(Comentário rápido para te animar: a razão
maior que 1 faz sentido — você tirou mais do que ficou — e o valor de
da carga original é razoável para essa separação com refluxo moderado.)
Passo 6
Composição média do destilado
.
Usamos o balanço do componente metanol entre carga, resíduo e destilado total:
de onde
Substituindo:
-
, (ou em unidades molares), -
, , -
.
Calculo:
Interpretação: o destilado produzido, em média, tem cerca de
molar de metanol — isso bate com os valores instantâneos calculados durante a integração, que estavam na faixa alta (≈84–94%) ao longo do corte.