Deseja-se usar um equipamento de destilação em batelada composto de um vaporizador e uma coluna equivalente a um estágio de equilíbrio para fazer a separação de uma solução aquosa de metanol. O condensador utilizado é total, a carga tem um teor de 57% molar de metanol e a pressão de trabalho é 101,3 \mathrm{kPa}. O refluxo é líquido saturado com uma razão de refluxo constante igual a 1,85 . Qual a quantidade final de líquido no vaporizador, a vazão de destilado e a composição média do destilado quando a composição do resíduo é 15 \% de metanol.
Dados de Equilíbrio do Sistema Metanol-Água a 1 atm (% molar de metanol)
x 0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0
y 0 13,4 23,0 30,4 36,5 41,8 51,7 57,9 66,5 72,9
\mathrm{~T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 100 96,4 93,5 91,2 89,3 87,7 84,4 81,7 78,0 75,3
x 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 95,0 100,0
y 77,9 82,5 87,0 91,5 95,8 97,9 100,0
\mathrm{~T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 73,1 71,2 69,3 67,6 66,0 65,0 64,5

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo para não perder nada):
  • Mistura: solução aquosa de metanol.
  • Composição inicial da carga: \;57\% molar de metanol.
  • Pressão de trabalho: 101{,}3\\ \mathrm{kPa} (1 atm, já é a condição dos dados de equilíbrio fornecidos).
  • Coluna: equivalente a um estágio de equilíbrio (ou seja, uma única placa de equilíbrio entre vaporizador e condensador).
  • Condensador total (o vapor condensado vira líquido que é dividido entre refluxo e destilado).
  • Refluxo líquido saturado com razão de refluxo constante \;R = 1{,}85 (isto é, R = L/D = 1{,}85).
  • Composição do resíduo final: \;15\% molar de metanol (este é o valor final x_f).
  • Fornecida a tabela de equilíbrio (x \mapsto y) para o sistema metanol-água a 1 atm (vou usá-la para interpolar valores de y a partir de x).
Observações / hipótese necessária (porque o enunciado não especifica a massa/mol inicial da carga): vou assumir uma carga inicial conveniente para trabalhar com porcentagens de forma direta. Portanto assumi
M_0 = 100\\ \mathrm{mol}
(ou seja, 100 mol totais na carga — isso facilita cálculos em \% molares; os resultados podem ser escalados linearmente para outra carga).
Também interpretei “vazão de destilado” como a quantidade total de destilado produzido durante a operação (isto é, M_0 - M_f), pois não foi dada informação sobre potência/tempo para obter uma vazão instantânea.
Agora que sabemos o que foi dado e as hipóteses que vou usar, começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Ideia geral do método (sem entrar ainda nas contas):
  • Em destilação em batelada com condensador total e refluxo constante R, o equilíbrio entre o líquido no vaporizador e o destilado envolve a curva de equilíbrio e a linha de operação da seção rectificadora.
  • Para uma coluna equivalente a um estágio podemos escrever um balanço de massa no estágio para relacionar a composição do líquido no vaporizador x com a composição do destilado instantâneo y_D. Esse y_D depende de x através da condição de equilíbrio e do balanço no estágio.
  • Com y_D(x) conhecido, usamos a equação de Rayleigh (forma diferencial) para relacionar a variação da quantidade de líquido no vaporizador com a variação de composição: integraremos
\int_{x_f}^{x_0}\frac{dx}{y_D(x)-x}=\ln\frac{M_0}{M_f}.
  • Daí obtemos M_f (quantidade final no vaporizador). O total de destilado é M_D = M_0 - M_f. A composição média do destilado é obtida pelo balanço de matéria do componente:
\bar{y}=\frac{M_0 z_0 - M_f z_f}{M_0-M_f},
onde z_0 e z_f são as frações molares iniciais e finais de metanol.
Agora vou desenvolver cada um desses itens com as fórmulas, interpolação nos dados de equilíbrio e a integração numérica necessária.

Passo 3

Derivar a relação entre x (composição do líquido no vaporizador) e y_D (composição instantânea do destilado) para a coluna de um estágio.
Definições:
  • x = fração molar de metanol no líquido do vaporizador (em % molar para usar a tabela).
  • y_V = composição do vapor que sai do vaporizador (vapor em equilíbrio com x): y_V = y_{\text{eq}}(x) (obtido pela tabela).
  • L = refluxo; D = vazão de destilado; R = L/D.
  • x_{\text{stg}} = composição do líquido na placa (stage) imediatamente abaixo do condensador (aquela que depois desce para o vaporizador).
  • y_D = composição do destilado (vapor que sai do estágio e vai ao condensador; no condensador total vira destilado com essa composição).
Balanço de matéria do componente sobre o estágio (fluxos em mol/s, mas o fator de tempo cancela — usamos relações molares):
  • Entradas de metanol no estágio: V\,y_V + L\,x_{\text{D}}, onde V é o vapor ascendente vindo do vaporizador e x_{\text{D}} é a composição do refluxo (como refluxo é condensado do destilado, x_{\text{D}}=y_D).
  • Saídas: (V+L)\,x_{\text{stg}}.
Portanto:
V\,y_V + L\,y_D = (V+L)\,x_{\text{stg}}.
Como a vazão de vapor que sobe ao estágio é V = L + D = (R+1)D, podemos dividir tudo por D e obter dependência apenas de R:
(L+D)\,x_{\text{stg}} = (L+D)\, \Rightarrow x_{\text{stg}} = \frac{(R+1)\,y_V + R\,y_D}{2R+1}.
Além disso, o vapor que sai do estágio (que vira destilado) está em equilíbrio com esse líquido da placa, portanto
y_D = y_{\text{eq}}(x_{\text{stg}}).
Juntando:
x_{\text{stg}} = \frac{(R+1)\,y_{\text{eq}}(x) + R\,y_D}{2R+1},\qquad y_D = y_{\text{eq}}(x_{\text{stg}}).
Isto é um sistema implícito para y_D dado x e R. Vou resolver numericamente por iteração fixa: dado x, calculo y_V=y_{\text{eq}}(x), escolho y_D^{(0)}=y_V e iterativamente
x_{\text{stg}}^{(k)} = \frac{(R+1)\,y_V + R\,y_D^{(k)}}{2R+1},\qquad y_D^{(k+1)} = y_{\text{eq}}\big(x_{\text{stg}}^{(k)}\big),
até convergência.
Vou trabalhar as composições em \% molares (como a tabela), mantendo consistência. Para referência numérica: R=1{,}85\Rightarrow R+1=2{,}85 e 2R+1=4{,}7. Assim os coeficientes
A=\frac{R+1}{2R+1}=\frac{2{,}85}{4{,}7}\approx 0{,}60638,\qquad B=\frac{R}{2R+1}=\frac{1{,}85}{4{,}7}\approx 0{,}39362.

Passo 4

Interpolação dos dados de equilíbrio (uso linear entre pontos vizinhos da tabela). Vou precisar de y_{\text{eq}}(x) para vários x entre x_0=57\% e x_f=15\%. Extraio alguns pontos relevantes da tabela e gero interpolações lineares:
Pontos da tabela relevantes (copiados do enunciado):
  • x=60\%\Rightarrow y=82{,}5\%
  • x=50\%\Rightarrow y=77{,}9\%
  • x=40\%\Rightarrow y=72{,}9\%
  • x=30\%\Rightarrow y=66{,}5\%
  • x=20\%\Rightarrow y=57{,}9\%
  • x=15\%\Rightarrow y=51{,}7\%
Também calculo o valor exato em x_0=57\% por interpolação entre 60 e 50:
y_{\text{eq}}(57\%)=82{,}5 - 0{,}46\times(60-57)=82{,}5 -0{,}46\times3 =81{,}12\%.
(onde a inclinação entre 50 e 60 é (82{,}5-77{,}9)/10=0{,}46\\ \%/\%).
Agora aplico a iteração descrita no passo anterior para cada x de uma malha que me permite integrar a equação de Rayleigh com precisão razoável. Para reduzir trabalho manual escolhi os nós: x=57,\;50,\;40,\;30,\;20,\;15 ( \% molar). Para cada nó sigo a iteração até convergência em y_D. Vou mostrar alguns passos das iterações (mantendo explicação didática, sem perder a objetividade).
Cálculos (resumo das iterações, valores arredondados com 2 decimais onde conveniente):
  • Para x=57\%:
    • y_V=y_{\text{eq}}(57)=81{,}12\%.
    • Iteração → convergência para y_D\approx 94{,}17\%.
    • Portanto f(x)=\dfrac{1}{y_D-x}=\dfrac{1}{94{,}17-57}=0{,}02689\\ (\%\!)^{-1}.
  • Para x=50\%:
    • y_V=77{,}9\%.
    • Iteração → y_D\approx 93{,}16\%.
    • f(x)=1/(93{,}16-50)=0{,}02317.
  • Para x=40\%:
    • y_V=72{,}9\%.
    • Iteração → y_D\approx 91{,}61\%.
    • f(x)=1/(91{,}61-40)=0{,}01937.
  • Para x=30\%:
    • y_V=66{,}5\%.
    • Iteração → y_D\approx 89{,}47\%.
    • f(x)=1/(89{,}47-30)=0{,}01682.
  • Para x=20\%:
    • y_V=57{,}9\%.
    • Iteração → y_D\approx 86{,}61\%.
    • f(x)=1/(86{,}61-20)=0{,}01501.
  • Para x=15\% (ponto final):
    • y_V=51{,}7\%.
    • Iteração → y_D\approx 84{,}56\%.
    • f(x)=1/(84{,}56-15)=0{,}01438.
Nota sobre as iterações: em cada nó eu calculei y_V por interpolação simples na tabela e então usei a rotina fixa:
x_{\text{stg}} \leftarrow A\,y_V + B\,y_D^{(k)},\qquad y_D^{(k+1)} \leftarrow y_{\text{eq}}(x_{\text{stg}}),
até que |y_D^{(k+1)}-y_D^{(k)}| ficasse pequeno (convergência). Esse é um procedimento padrão e rápido quando se usa tabela/linearidade local.

Passo 5

Integração da equação de Rayleigh para obter M_f.
A forma de Rayleigh (no arranjo usado) é
\int_{x_f}^{x_0}\frac{dx}{y_D(x)-x}=\ln\frac{M_0}{M_f}.
Já calculamos nos nós os valores de f(x)=1/(y_D(x)-x). Vou integrar numericamente por trapézios usando os nós listados. Intervalos e contribuições:
  • De 57\% a 50\%: largura 7, média de f = (0{,}02689+0{,}02317)/2 = 0{,}02503. Contribuição = 7\times0{,}02503=0{,}17521.
  • De 50\% a 40\%: largura 10, média 0{,}02127. Contribuição = 0{,}2127.
  • De 40\% a 30\%: largura 10, média 0{,}018095. Contribuição = 0{,}18095.
  • De 30\% a 20\%: largura 10, média 0{,}015915. Contribuição = 0{,}15915.
  • De 20\% a 15\%: largura 5, média 0{,}014695. Contribuição = 0{,}073475.
Somando as contribuições:
\int_{15}^{57}\frac{dx}{y_D-x}\approx 0{,}17521+0{,}2127+0{,}18095+0{,}15915+0{,}073475 = 0{,}80149.
Portanto
\ln\frac{M_0}{M_f}\approx 0{,}80149 \quad\Rightarrow\quad \frac{M_0}{M_f}=e^{0{,}80149}\approx 2{,}229.
Com M_0=100\\ \mathrm{mol} (hipótese), obtemos
M_f=\frac{M_0}{2{,}229}\approx 44{,}86\\ \mathrm{mol}.
Quantidade de destilado total:
M_D = M_0 - M_f = 100 - 44{,}86 = 55{,}14\\ \mathrm{mol}.
(Comentário rápido para te animar: a razão M_0/M_f maior que 1 faz sentido — você tirou mais do que ficou — e o valor de M_f\approx 45\% da carga original é razoável para essa separação com refluxo moderado.)

Passo 6

Composição média do destilado \bar{y}.
Usamos o balanço do componente metanol entre carga, resíduo e destilado total:
M_0 z_0 = M_f z_f + M_D \,\bar{y},
de onde
\bar{y} = \frac{M_0 z_0 - M_f z_f}{M_D}.
Substituindo:
  • M_0=100\\ \mathrm{mol}, z_0=57\% (ou 57 em unidades \% molares),
  • M_f=44{,}86\\ \mathrm{mol}, z_f=15\%,
  • M_D=55{,}14\\ \mathrm{mol}.
Calculo:
\bar{y} = \frac{100\times57 - 44{,}86\times15}{55{,}14} = \frac{5700 - 672{,}9}{55{,}14} = \frac{5027{,}1}{55{,}14}\approx 91{,}17\%.
Interpretação: o destilado produzido, em média, tem cerca de 91{,}2\% molar de metanol — isso bate com os valores instantâneos calculados durante a integração, que estavam na faixa alta (≈84–94%) ao longo do corte.

Resposta

M_f\approx 44{,}86\\ \mathrm{mol}
M_D\approx 55{,}14\\ \mathrm{mol}
\bar{y}\approx 91{,}17\%

Exercícios relacionados