Um vaporizador é carregado com 100 kgmoles de um líquido contendo uma mistura equimolar de benzeno e tolueno. Após 2 , 4 e 6 horas de batelada, determine a temperatura do vaporizador, a composição do vapor gerado naquele instante \mathrm{xd}(\mathrm{t}), a composição do líquido do vaporizador e a composição média global do destilado. Assumir vazão de vapor constante de 10 \mathrm{kgmoles} / \mathrm{h} e uma volatilidade relativa constante e igual a 2,41 à pressão de 101,3 \mathrm{kPa} (1 atm).

Passo 1

O enunciado dá uma destilação em batelada com as seguintes informações e pede quatro coisas para os instantes t=2, 4 e 6 horas:
  • Carga inicial: n_0=100 \mathrm{kgmol} de líquido.
  • Composição inicial (equimolar): x_0(\text{benzeno})=0{,}5.
  • Vazão de vapor constante: V=10 \mathrm{kgmol/h}.
  • Volatilidade relativa (constante): \alpha=2{,}41 (à pressão total P=101{,}3 kPa).
    As quantidades a determinar, em cada instante t, são:
  1. A temperatura do vaporizador (i.e. temperatura de ebulição da mistura no alambique naquele instante).
  2. A composição do vapor gerado naquele instante x_d(t) (ou seja, a fração molar do componente mais volátil — benzeno — no vapor que sai).
  3. A composição do líquido residual no vaporizador naquele instante (fração molar do benzeno no líquido, que chamarei de x(t)).
  4. A composição média global do destilado recolhido até aquele instante (fração molar média do benzeno no total coletado até t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A cada instante t o número de mols no alambique é n(t)=n_0 - Vt. Logo: n(2)=80,\qquad n(4)=60,\qquad n(6)=40\\ \\ (\text{kgmol}).
  • A relação de equilíbrio vapor–líquido (assumindo solução ideal e \alpha constante) é y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x},onde x é a fração molar do benzeno no líquido e y é a fração molar do benzeno no vapor (aqui x_d(t)=y).
  • Para a variação da composição do líquido na destilação por batelada com fluxo de vapor constante usa-se a equação de Rayleigh diferencial que relaciona n e x. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Deduzindo a equação que liga n e x (equação de Rayleigh) — dedução passo a passo e explicação didática:
  • Considere o número de mols do componente mais volátil (benzeno) no banho: n x.
  • Quando sai um pequeno elemento de vapor dn (note que dn<0 porque n diminui), a perda de benzeno no banho é y\,dn (já que o vapor contém y frações molares de benzeno). Portanto: d(n x) = -y\,(-dn) = y\,dn.Expandindo o lado esquerdo: n\,dx + x\,dn = y\,dn.Rearranjando: n\,dx = (y-x)\,dn.Dividindo por n\,(y-x): \frac{dx}{y-x} = \frac{dn}{n}.
  • Integrando entre as condições iniciais (n_0,x_0) e (n,x) obtemos a forma usual da equação de Rayleigh: \int_{x_0}^{x} \frac{d\tilde x}{y(\tilde x)-\tilde x} = \int_{n_0}^{n} \frac{d\tilde n}{\tilde n} = \ln\!\left(\frac{n}{n_0}\right).
  • Agora substituímos a expressão de equilíbrio y(\tilde x)=\dfrac{\alpha \tilde x}{1+(\alpha-1)\tilde x}. Calcule a diferença y-x e simplifique: y-x=\frac{(\alpha-1)\tilde x(1-\tilde x)}{1+(\alpha-1)\tilde x}.Assim o integrando fica \frac{1+(\alpha-1)\tilde x}{(\alpha-1)\tilde x(1-\tilde x)}.
  • Integrando essa expressão (faço a integral completa e explico os passos): \int \frac{d\tilde x}{y-x} =\int \left[\frac{1}{\alpha-1}\cdot\frac{1}{\tilde x(1-\tilde x)} + \frac{1}{1-\tilde x}\right] d\tilde x.Porque \frac{1+(\alpha-1)\tilde x}{(\alpha-1)\tilde x(1-\tilde x)} =\frac{1}{\alpha-1}\cdot\frac{1}{\tilde x(1-\tilde x)} + \frac{1}{1-\tilde x}.E \int \frac{d\tilde x}{\tilde x(1-\tilde x)} = \int\left(\frac{1}{\tilde x} + \frac{1}{1-\tilde x}\right)d\tilde x =\ln\!\left(\frac{\tilde x}{1-\tilde x}\right).Além disso \int \frac{d\tilde x}{1-\tilde x} = -\ln(1-\tilde x).
  • Combinando tudo e aplicando os limites de integração de \tilde x=x_0 até \tilde x=x, obtemos a forma (após simplificação): (\alpha-1)\ln\!\left(\frac{n}{n_0}\right)=\ln\!\left(\frac{x}{x_0}\right)-\alpha\ln\!\left(\frac{1-x}{1-x_0}\right).
  • No nosso caso x_0=0{,}5, logo x_0/(1-x_0)=1 e a expressão simplifica muito. Podemos manipular para obter uma forma conveniente: \ln\!\left(\frac{x}{(1-x)^\alpha}\right) = (\alpha-1)\ln\!\left(\frac{2n}{n_0}\right).Expontenciando, obtemos a equação que usaremos numericamente para obter x a partir de n: \boxed{\dfrac{x}{(1-x)^\alpha} = \left(\dfrac{2n}{n_0}\right)^{\alpha-1}.}Observação didática rápida: essa forma é conveniente porque reduz a integral e tira vantagem de x_0=0{,}5; ela dá uma equação implícita em x que será resolvida numericamente para cada n.

Passo 3

Determinar n em cada instante (já listado no Passo 1) e calcular o lado direito da equação implícita:
  • Parâmetros conhecidos: n_0=100, \alpha=2{,}41, então \alpha-1=1{,}41.
  • Para t=2 h: n=80. Calcule R \equiv \left(\frac{2n}{n_0}\right)^{\alpha-1} = (1{,}6)^{1{,}41}\approx 1{,}94.
  • Para t=4 h: n=60. Calcule R=(1{,}2)^{1{,}41}\approx 1{,}293.
  • Para t=6 h: n=40. Calcule R=(0{,}8)^{1{,}41}\approx 0{,}7299.

Passo 4

Resolver numericamente a equação implícita para x (fração molar do benzeno no líquido) em cada instante:
A equação é
f(x)=x - R(1-x)^\alpha = 0.
Vou usar um método de busca (bisseção/interpolação) e mostrar os passos numéricos resumidos (mastigados) para cada instante, com valores intermediários que mostram a convergência:
  • Para t=2 h ( R\approx1{,}94, \alpha=2{,}41):
    • Testes rápidos e refinamento levam ao valor: x(2)\approx 0{,}453.
    (mostrei tentativas no rascunho: x=0{,}452 f<0, x=0{,}455 f>0; por interpolação obtemos x\approx0{,}453.)
  • Para t=4 h ( R\approx1{,}293):
    • Busca numérica (bisseção/interpolação) dá: x(4)\approx 0{,}390.
  • Para t=6 h ( R\approx0{,}7299):
    • Busca numérica dá: x(6)\approx 0{,}305.
Esses valores são as frações molares do benzeno no líquido residual no vaporizador nos instantes solicitados.

Passo 5

Calcular a composição do vapor gerado naquele instante x_d(t) — usar a relação de equilíbrio:
\boxed{y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}}.
Aplicando para cada instante:
  • Para t=2 h: com x(2)\approx 0{,}453,
    y(2)=\frac{2{,}41\cdot 0{,}453}{1+1{,}41\cdot 0{,}453}\approx\frac{1{,}0917}{1{,}638} \approx 0{,}667.
    Então x_d(2)=y(2)\approx 0{,}667.
  • Para t=4 h: com x(4)\approx 0{,}390,
    y(4)=\frac{2{,}41\cdot 0{,}390}{1+1{,}41\cdot 0{,}390}\approx\frac{0{,}9399}{1{,}5499}\approx 0{,}606.
    Então x_d(4)\approx 0{,}606.
  • Para t=6 h: com x(6)\approx 0{,}305,
    y(6)=\frac{2{,}41\cdot 0{,}305}{1+1{,}41\cdot 0{,}305}\approx\frac{0{,}734}{1{,}4295}\approx 0{,}514.
    Então x_d(6)\approx 0{,}514.
Comentário didático: y é sempre maior que x porque benzeno é o componente mais volátil ( \alpha>1); ao longo do processo x decresce e y também decresce, ou seja, o destilado fica menos rico em benzeno ao longo do batelada.

Passo 6

Calcular a composição média global do destilado recolhido até o instante t (fração molar média do benzeno no total coletado entre 0 e t):
  • A quantidade total de benzeno retirada até o tempo t é n_0 x_0 - n x.
  • A quantidade total de destilado coletada é n_0 - n.
  • Logo, a composição média do destilado é \boxed{\bar x_D(t) = \dfrac{n_0 x_0 - n x}{\,n_0 - n\,}}.
Calculemos numericamente (lembrando x_0=0{,}5):
  • Para t=2 h: n=80, x(2)=0{,}453:
    \bar x_D(2)=\frac{100\cdot 0{,}5 - 80\cdot 0{,}453}{100-80}=\frac{50-36{,}24}{20}=\frac{13{,}76}{20}=0{,}688.
  • Para t=4 h: n=60, x(4)=0{,}390:
    \bar x_D(4)=\frac{50-60\cdot 0{,}390}{40}=\frac{50-23{,}4}{40}=\frac{26{,}6}{40}=0{,}665.
  • Para t=6 h: n=40, x(6)=0{,}305:
    \bar x_D(6)=\frac{50-40\cdot 0{,}305}{60}=\frac{50-12{,}2}{60}=\frac{37{,}8}{60}=0{,}630.
Observação: esses valores fazem sentido fisicamente — a composição média do destilado diminui com o tempo porque o destilado fica progressivamente menos rico em benzeno.

Passo 7

Determinar a temperatura do vaporizador (temperatura de ebulição da mistura no alambique) para cada instante t:
  • O ponto de ebulição (bubble point) para o líquido de composição x à pressão total P é dado por x\,P_A^{\text{sat}}(T) + (1-x)\,P_B^{\text{sat}}(T) = P,onde P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor de saturação do componente i a T.
  • Para obter T numericamente precisamos de relações de P_i^{\text{sat}}(T). Vou usar equações de Antoine (valores padrão obtidos em tabelas). Estou explicitando as constantes que usei (fonte: tabelas de propriedades termodinâmicas, constantes de Antoine clássicas, unidades de pressão em mmHg e T em ^\circ\text{C}):
    • Para o benzeno: \log_{10} P^\text{sat}_\text{benzene} = A_B - \frac{B_B}{T + C_B},\quad A_B=6{,}90565,\\ B_B=1211{,}033,\\ C_B=220{,}79.
    • Para o tolueno: \log_{10} P^\text{sat}_\text{tolueno} = A_T - \frac{B_T}{T + C_T},\quad A_T=6{,}95464,\\ B_T=1344{,}8,\\ C_T=219{,}48.
    Essas expressões dão P^\text{sat} em mmHg; para usar P=101{,}3 kPa convém converter unidades ( 1\\ \text{mmHg}=0{,}133322 kPa).
  • Procedimento numérico: para cada x(t) eu ajustei T até satisfazer a equação do ponto de bolha com as duas funções de Antoine simultaneamente (isto é, calculei P_A^{\text{sat}}(T), P_B^{\text{sat}}(T) e avaliei a soma ponderada). Fiz iterações simples (varredura/interpolação) até obter a soma muito próxima de P=101{,}3 kPa. Abaixo os resultados obtidos (mostro o resultado final arredondado a 1 casa decimal, coerente com a precisão dos dados usados):
Resultados numéricos (temperaturas de ebulição do banho no alambique):
  • Para t=2 h, com x(2)\approx0{,}453: T(2)\approx 93{,}3^\circ\text{C}.
  • Para t=4 h, com x(4)\approx0{,}390: T(4)\approx 95{,}5^\circ\text{C}.
  • Para t=6 h, com x(6)\approx0{,}305: T(6)\approx 98{,}3^\circ\text{C}.
Breve explicação física: conforme o banho vai empobrecendo em benzeno (o componente mais volátil), a mistura precisa atingir temperaturas maiores para gerar vapor à pressão fixa de 101{,}3 kPa — por isso T aumenta com o tempo.

Resposta

t = 2 h: T\approx 93{,}3^\circ\text{C} \,;\, x_d(2)=y(2)\approx 0{,}667 \,;\, x(2)\approx 0{,}453 \,;\, \bar x_D(2)\approx 0{,}688
t = 4 h: T\approx 95{,}5^\circ\text{C} \,;\, x_d(4)=y(4)\approx 0{,}606 \,;\, x(4)\approx 0{,}390 \,;\, \bar x_D(4)\approx 0{,}665
t = 6 h: T\approx 98{,}3^\circ\text{C} \,;\, x_d(6)=y(6)\approx 0{,}514 \,;\, x(6)\approx 0{,}305 \,;\, \bar x_D(6)\approx 0{,}630

Exercícios relacionados