Um vaporizador é carregado com 100 kgmoles de um líquido contendo uma mistura equimolar de benzeno e tolueno. Após 2 , 4 e 6 horas de batelada, determine a temperatura do vaporizador, a composição do vapor gerado naquele instante
, a composição do líquido do vaporizador e a composição média global do destilado. Assumir vazão de vapor constante de
e uma volatilidade relativa constante e igual a 2,41 à pressão de
(1 atm).
Passo 1
O enunciado dá uma destilação em batelada com as seguintes informações e pede quatro coisas para os instantes
,
e
horas:
- Carga inicial:
de líquido. - Composição inicial (equimolar):
. - Vazão de vapor constante:
. - Volatilidade relativa (constante):
(à pressão total kPa).
As quantidades a determinar, em cada instante, são:
- A temperatura do vaporizador (i.e. temperatura de ebulição da mistura no alambique naquele instante).
- A composição do vapor gerado naquele instante
(ou seja, a fração molar do componente mais volátil — benzeno — no vapor que sai). - A composição do líquido residual no vaporizador naquele instante (fração molar do benzeno no líquido, que chamarei de
). - A composição média global do destilado recolhido até aquele instante (fração molar média do benzeno no total coletado até
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A cada instante
o número de mols no alambique é . Logo: - A relação de equilíbrio vapor–líquido (assumindo solução ideal e
constante) é onde é a fração molar do benzeno no líquido e é a fração molar do benzeno no vapor (aqui ). - Para a variação da composição do líquido na destilação por batelada com fluxo de vapor constante usa-se a equação de Rayleigh diferencial que relaciona
e . A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Deduzindo a equação que liga
e
(equação de Rayleigh) — dedução passo a passo e explicação didática:
- Considere o número de mols do componente mais volátil (benzeno) no banho:
. - Quando sai um pequeno elemento de vapor
(note que porque diminui), a perda de benzeno no banho é (já que o vapor contém frações molares de benzeno). Portanto: Expandindo o lado esquerdo: Rearranjando: Dividindo por : - Integrando entre as condições iniciais
e obtemos a forma usual da equação de Rayleigh: - Agora substituímos a expressão de equilíbrio
. Calcule a diferença e simplifique: Assim o integrando fica - Integrando essa expressão (faço a integral completa e explico os passos):
Porque E Além disso - Combinando tudo e aplicando os limites de integração de
até , obtemos a forma (após simplificação): - No nosso caso
, logo e a expressão simplifica muito. Podemos manipular para obter uma forma conveniente: Expontenciando, obtemos a equação que usaremos numericamente para obter a partir de : Observação didática rápida: essa forma é conveniente porque reduz a integral e tira vantagem de ; ela dá uma equação implícita em que será resolvida numericamente para cada .
Passo 3
Determinar
em cada instante (já listado no Passo 1) e calcular o lado direito da equação implícita:
- Parâmetros conhecidos:
, , então . - Para
h: . Calcule - Para
h: . Calcule - Para
h: . Calcule
Passo 4
Resolver numericamente a equação implícita para
(fração molar do benzeno no líquido) em cada instante:
A equação é
A equação é
Vou usar um método de busca (bisseção/interpolação) e mostrar os passos numéricos resumidos (mastigados) para cada instante, com valores intermediários que mostram a convergência:
-
Para
h ( , ): - Testes rápidos e refinamento levam ao valor:
(mostrei tentativas no rascunho:dá , dá ; por interpolação obtemos .) - Testes rápidos e refinamento levam ao valor:
-
Para
h ( ): - Busca numérica (bisseção/interpolação) dá:
- Busca numérica (bisseção/interpolação) dá:
-
Para
h ( ): - Busca numérica dá:
- Busca numérica dá:
Esses valores são as frações molares do benzeno no líquido residual no vaporizador nos instantes solicitados.
Passo 5
Calcular a composição do vapor gerado naquele instante
— usar a relação de equilíbrio:
Aplicando para cada instante:
-
Para
h: com , Então. -
Para
h: com , Então. -
Para
h: com , Então.
Comentário didático:
é sempre maior que
porque benzeno é o componente mais volátil (
); ao longo do processo
decresce e
também decresce, ou seja, o destilado fica menos rico em benzeno ao longo do batelada.
Passo 6
Calcular a composição média global do destilado recolhido até o instante
(fração molar média do benzeno no total coletado entre
e
):
- A quantidade total de benzeno retirada até o tempo
é . - A quantidade total de destilado coletada é
. - Logo, a composição média do destilado é
Calculemos numericamente (lembrando
):
-
Para
h: , : -
Para
h: , : -
Para
h: , :
Observação: esses valores fazem sentido fisicamente — a composição média do destilado diminui com o tempo porque o destilado fica progressivamente menos rico em benzeno.
Passo 7
Determinar a temperatura do vaporizador (temperatura de ebulição da mistura no alambique) para cada instante
:
- O ponto de ebulição (bubble point) para o líquido de composição
à pressão total é dado por onde é a pressão de vapor de saturação do componente a . - Para obter
numericamente precisamos de relações de . Vou usar equações de Antoine (valores padrão obtidos em tabelas). Estou explicitando as constantes que usei (fonte: tabelas de propriedades termodinâmicas, constantes de Antoine clássicas, unidades de pressão em mmHg e em ): - Para o benzeno:
- Para o tolueno:
em mmHg; para usar kPa convém converter unidades ( kPa). - Para o benzeno:
- Procedimento numérico: para cada
eu ajustei até satisfazer a equação do ponto de bolha com as duas funções de Antoine simultaneamente (isto é, calculei , e avaliei a soma ponderada). Fiz iterações simples (varredura/interpolação) até obter a soma muito próxima de kPa. Abaixo os resultados obtidos (mostro o resultado final arredondado a 1 casa decimal, coerente com a precisão dos dados usados):
Resultados numéricos (temperaturas de ebulição do banho no alambique):
- Para
h, com : - Para
h, com : - Para
h, com :
Breve explicação física: conforme o banho vai empobrecendo em benzeno (o componente mais volátil), a mistura precisa atingir temperaturas maiores para gerar vapor à pressão fixa de
kPa — por isso
aumenta com o tempo.
Resposta
t = 2 h:
t = 4 h:
t = 6 h: