A coluna de destilação com refervedor total e condensador parcial deve separar duas misturas de etanol-acetona. A primeira mistura é líquida saturada com uma vazão de 1000 moles/h; a segunda mistura é 90 \% vaporizada com vazão de 500 \mathrm{moles} / \mathrm{h}. Ambas as misturas contém 45% de acetona. Deseja-se um destilado com 85% de acetona e um produto de fundo com 2 \% de acetona. O refluxo de fundo é vapor saturado e as vazões molares podem ser consideradas constantes. Quando se usa uma razão de refluxo externa igual ao dobro da razão de refluxo mínima, determine a localização ótima dos pratos de carga.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a localização ótima dos pratos de carga (ou seja, em que estágios colocar as duas correntes de alimentação) para uma coluna com reboiler total e condensador parcial, quando se usa uma razão de refluxo externa igual ao dobro da razão de refluxo mínima.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &F_1 = 1000\\ \text{mol/h},\quad \text{estado: líquido saturado} \\\ &F_2 = 500\\ \text{mol/h},\quad \text{estado: }90\%\\ \text{vapor (ou seja, fração líquida }q_2=0{,}1)\\\ &\text{Composição de ambas as alimentações: } z_F = 0{,}45\\ \text{(fração molar de acetona)}\\\ &x_D = 0{,}85\\ \text{(destilado, acetona)}\\\ &x_B = 0{,}02\\ \text{(produto de fundo, acetona)}\\\ &\text{Refluxo externo: }R = 2\,R_{\min}\\\ &\text{Vazões molares consideradas constantes (CMO).}\\\ &\text{Reboiler total e condensador parcial.} \end{aligned}íçãíçãçõçãõ
Observação crucial: para calcular numericamente a razão de refluxo mínima R_{\min} (e, por consequência, o número de estágios real usando correlações como Gilliland, e então a posição ótima dos pratos), é necessário conhecer a informação de equilíbrio vapor–líquido (curva VLE) ou a volatilidade relativa (valor de \alpha) dependente da temperatura/pressão. Esse dado não foi fornecido no enunciado. Sem a curva VLE ou uma volatilidade relativa assumida, não é possível obter valores numéricos para R_{\min}, nem para o número de pratos, nem para a localização numérica (nº de prato) das alimentações.
Vou continuar a resolução em passos didáticos: calculo de balanços que podem ser feitos com os dados dados, explicação da teoria necessária (o que calcular e como), e a forma prática de determinar a localização ótima quando a VLE / \alpha estiver disponível. Ao final dou a conclusão prática (qualitativa) que já pode ser usada mesmo sem a VLE.

Passo 2

Primeiro fazemos os balanços totais e de componente (apenas com os dados fornecidos) para obter as vazões de destilado D e fundo B. Isso é necessário para compreender o fluxo de massa na coluna.
Balanço total:
F = F_1 + F_2 = 1000 + 500 = 1500\\ \text{mol/h},\qquad F = D + B.
Balanço de componente (acetona):
F z_F = D x_D + B x_B.
Substituindo os números:
1500\cdot 0{,}45 = D\cdot 0{,}85 + B\cdot 0{,}02.
Como B = 1500 - D, substituímos:
675 = 0{,}85D + 0{,}02(1500 - D) = 0{,}85D + 30 - 0{,}02D = 30 + 0{,}83D.
Isolando D:
0{,}83D = 675 - 30 = 645 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{645}{0{,}83}\approx 777{,}1084\\ \text{mol/h}.
Então
B = 1500 - D \approx 1500 - 777{,}1084 = 722{,}8916\\ \text{mol/h}.
Esses valores são importantes porque definem as vazões de produto e, junto com o refluxo, definem os caudais internos da seção enriquecedora (rectifying) e da seção de esgotamento (stripping).

Passo 3

Calcular as qualidades (frações líquidas) das alimentações — isso entra na construção das linhas- q e no balanço dos fluxos internos:
  • Para F_1: dado que é líquido saturado, a fração líquida é q_1 = 1.
  • Para F_2: dado que é 90\% vaporizada, a fração líquida é q_2 = 0{,}10 (pois 10\% líquido).
Explicação do que é q: q é a fração em fase líquida (por mol) do alimentador. Um q=1 significa alimentação toda líquida (a linha q é vertical na composição para programas simples), q=0 significa vapor saturado, 0<q<1 representa alimentação mista e a linha- q tem inclinação dependendo de q.

Passo 4

Qual é a informação que faltou e por que é essencial?
  • Para encontrar R_{\min} (razão de refluxo mínima), tradicionalmente usamos a equação de Underwood (para sistemas com volatilidade constante ou com dados de VLE discretos) ou traçamos a operação no diagrama y vs x com a curva VLE. A equação de Underwood envolve as volatilidades relativas das espécies (ou integração sobre a curva VLE). Assim:
\text{(Underwood)}\qquad \sum_i \frac{q z_i}{\alpha_i - \theta} = \frac{1}{1+R_{\min}}
onde \theta é a(s) raiz(es) de Underwood e \alpha_i são volatilidades relativas. Em binário simplificado, a expressão fica mais simples, mas sempre exige \alpha ou a curva VLE.
  • Sem \alpha (ou a curva VLE) não há como calcular numericamente R_{\min}. Como o enunciado fixou R = 2R_{\min}, sem R_{\min} não conseguimos nem o valor do refluxo R.
Portanto, para poder calcular numericamente a posição ótima dos pratos é obrigatório dispor de:
  1. Curva VLE acetona–etanol nas condições de operação (ou)
  2. Valor (ou função) da volatilidade relativa \alpha como função de composição / temperatura.
Se você tiver esse dado (por exemplo, tabela VLE ou \alpha constante aproximado), eu consigo calcular R_{\min}, depois o número mínimo de pratos N_{\min} (pela equação de Fenske), em seguida o número real de pratos N para R=2R_{\min} (pela correlação de Gilliland ou por McCabe–Thiele), e daí localizar numericamente os pratos de alimentação.

Passo 5

Mesmo sem dados numéricos de VLE, aqui vai a receita completa e didática — passo a passo — do que você faria quando tiver a curva VLE ou \alpha. Vou explicar cada equação e o que significa, para que você consiga aplicar na prova.
  1. Determinar o número mínimo de pratos ( N_{\min}) pelo total reflux (Fenske):
\text{(Fenske)}\qquad N_{\min} = \frac{\ln\left( \dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha_\text{LK/HK})},
onde:
  • x_D é a fração do componente mais volátil (aqui assumimos acetona como mais volátil) no destilado,
  • x_B é a fração no fundo,
  • \alpha_\text{LK/HK} é a volatilidade relativa do componente leve (acetona) em relação ao pesado (etanol).
    Explicação: Fenske dá o mínimo de pratos teóricos para separar duas composições, no total reflux (sem retirada de produto). Precisa de \alpha.
  1. Determinar a razão de refluxo mínima R_{\min} (Underwood):
    Para binário em aproximação de volatilidade constante, a equação de Underwood reduz a resolver para \theta e depois:
\sum_i \frac{z_i}{\alpha_i - \theta} = \frac{1}{1+R_{\min}}.
No caso binário, isso se torna uma equação simples em \theta; após achar \theta obtém-se R_{\min}. Em prática, é mais comum usar a curva VLE e construir as tangentes para obter R_{\min} graficamente.
  1. Determinar o número real de pratos N para R=2R_{\min}:
  • Use a correlação de Gilliland (gráfica ou forma empírica) que relaciona o excesso de refluxo e o excesso de pratos:
X = \frac{R-R_{\min}}{R+1},\qquad Y = \frac{N-N_{\min}}{N+1},
e então Y é obtido a partir de X pela correlação de Gilliland (normalmente via gráfico ou por uma fórmula de ajuste). Explicação: fornece N dado R.
Alternativa prática: construir o diagrama de McCabe–Thiele usando a curva VLE e a linha-operadora retificadora com declive m_\text{rect} = \dfrac{R}{R+1}. Desenhe a q-line de cada alimentação (cada q gera uma linha com inclinação \dfrac{q}{q-1}) e faça stepping (escada) entre x_D e a curva VLE até o x_B. Contando degraus obtém N e a posição dos pontos onde as q-lines cruzam a escada indica o prato ótimo de entrada da alimentação. Esta é a forma gráfica que muitos professores pedem.

Passo 6

Como localizar a posição ótima do prato de alimentação (procedimento prático que se aplica aqui e em provas):
  • Construa no diagrama y vs x a curva VLE da mistura (ou use \alpha constante para traçar y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha -1)x}).
  • Trace a linha operadora retificadora: \;y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{1}{R+1}x_D\; (a inclinação é R/(R+1) e intercept é x_D/(R+1)).
  • A linha operadora de esgotamento (stripping) obtém-se por balanço entre o ponto de alimentação e os produtos (ou por continuidade do método gráfico).
  • Desenhe a(s) linha(s) q de cada alimentação:
    • Para q=1 (alimentação líquida saturada) a q-line é vertical em x = z_F.
    • Para q=0{,}1 (alimentação 90% vapor), a q-line tem inclinação \dfrac{q}{q-1} = \dfrac{0{,}1}{-0{,}9} \approx -0{,}111; é uma linha que parte do ponto (z_F,z_F) com essa inclinação (na prática você usa a fórmula da q-line).
  • Execute o procedimento McCabe–Thiele:
    • Partindo do ponto (x_D,x_D) (no diagrama) e usando a linha operadora retificadora, faça os degraus até encontrar a primeira interseção com a q-line da alimentação que está mais próxima do topo. O ponto de interseção entre a escada e a q-line indica o estágio de entrada ótimo para essa alimentação (o degrau em que a q-line corta o passo).
    • Continue o stepping abaixo desse ponto usando a linha operadora de stripping (construída pela continuidade do método) até encontrar a próxima q-line; a interseção dá o estágio de entrada ótimo para a segunda alimentação.
  • Em termos físicos e intuitivos: você quer colocar cada alimentação onde sua q-line cruza a escada de equilíbrio/operadora, porque aí o efeito da alimentação é “aproveitado” sem criar degraus extras (ou seja, minimiza o número total de pratos para a separação dada).

Passo 7

Aplicando o raciocínio físico à nossa situação específica (mesmo sem VLE numericamente):
  • O primeiro alimentador F_1 é líquido saturado ( q_1=1). Linhas q com q=1 são verticalmente orientadas no diagrama x (em representação simplificada), e alimentações líquidas devem, em geral, ser introduzidas na seção de esgotamento (stripping), ou seja, na parte inferior/média da coluna. A intuição: alimentação líquida adiciona líquido à queda e aumenta a carga da seção de esgotamento; colocá-la na seção de esgotamento evita perturbar a seção enriquecedora acima.
  • O segundo alimentador F_2 é majoritariamente vapor ( q_2=0{,}1, ou seja, 90% vapor). Alimentações ricas em vapor funcionam melhor quando introduzidas na seção enriquecedora (rectifying) — ou pelo menos acima do local da alimentação líquida — porque o vapor adicional ajuda a enriquecer o topo e reduz a carga no reboiler.
Assim, qualitativamente (e esta é a recomendação prática sem precisar de números de pratos):
  • Colocar F_2 (500 mol/h, 90% vapor, z_F=0{,}45) na seção superior da coluna — isto é, relativamente alto (pratos perto do topo) — na seção rectifying.
  • Colocar F_1 (1000 mol/h, líquido saturado, z_F=0{,}45) na seção inferior da coluna — isto é, relativamente baixo (pratos próximos ao reboiler) — na seção stripping.
Motivação curta e intuitiva: o alimentador de vapor deve ser introduzido onde seu vapor pode subir e ajudar a concentrar o componente mais volátil (acetona) para o destilado; o alimentador líquido deve ser introduzido onde seu líquido pode ser stripado pelo vapor ascendente, sem degradar a seção de retificação.

Passo 8

Se você quiser o número exato do prato para cada alimentação (por exemplo: “alimentação 1 no prato 12 e alimentação 2 no prato 5”), os passos práticos a seguir quando tiver a VLE/ \alpha são:
  1. Calcule R_{\min} por Underwood (ou obtenha graficamente).
  2. Fixe R = 2 R_{\min}.
  3. Calcule N_{\min} (Fenske) e então N (Gilliland) ou obtenha N diretamente do McCabe–Thiele com a linha operadora de inclinação R/(R+1).
  4. No McCabe–Thiele, faça stepping a partir de x_D até encontrar a interseção com a q-line correspondente à alimentação que deve ficar mais acima; o número de degraus até esse ponto fornece o número de pratos acima daquela alimentação (ou seja, a posição do prato). Continue até x_B para achar a posição do outro alimentador.
  5. Se existirem duas alimentações, a ordem de desenho e stepping tem que respeitar as posições relativas: normalmente começa-se no topo, faz-se stepping até cruzar a q-line do alimentador superior (coloca-se esse alimentador ali), e depois prossegue para o alimentador inferior.

Passo 9

  • Sem curva VLE ou \alpha não dá para dar números de pratos. Se você me passar a curva VLE (tabela x vs y para acetona–etanol na pressão de operação) ou uma volatilidade relativa média \alpha, eu faço os cálculos numéricos completos: R_{\min}, R, N_{\min}, N e a posição exata (nº de prato) para cada alimentação, com todo o passo-a-passo gráfico/numérico (McCabe–Thiele) e contagem de degraus.
  • Dica rápida para a prova: se não houver VLE, o professor frequentemente fornece ou assume \alpha. Se tiver que desenhar McCabe–Thiele, saiba fazer: traçar VLE, traçar linha operadora rectificadora com R/(R+1), traçar q-lines (vertical para q=1), e contar degraus — isso é a parte que mais cai em prova prática.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os estágios ótimos por falta da curva VLE ou da volatilidade relativa \alpha; contudo, qualitativamente, a localização ótima é:
F2 (500 mol/h, 90% vapor, q_2=0{,}1) → seção enriquecedora (pratos altos, próximo ao topo).
F1 (1000 mol/h, líquido saturado, q_1=1) → seção de esgotamento (pratos baixos, próximo ao reboiler).

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