Uma unidade de separação consiste de uma coluna de destilação com pratos perfurados equipada com refervedor parcial e com condensador total e opera a pressão atmosférica para separar uma solução aquosa de etanol. A carga que é introduzida no seu prato ótimo contém 20% de etanol e está no seu ponto de bolha. O destilado contém 85% de etanol e é recuperado 97%. Determine:
a) A fração molar do produto de fundo,
b) Os valores mínimos de:
b1) L/V
b2) L/D
b3) V/B
c) O número mínimo de estágios teóricos e o número de pratos reais se a eficiência global dos pratos é de 55%,
d) Se a razão de refluxo interna de operação usada é de 0,8 , o número de pratos teóricos.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar com clareza o que temos e o que nos é solicitado.
  • Dados fornecidos:
    • A carga (alimentação) tem fração molar de etanol \,x_F=0,20 e está no ponto de bolha.
    • O destilado tem fração molar de etanol \,x_D=0,85.
    • A recuperação de etanol no destilado é 97\%.
    • A coluna tem refervedor parcial e condensador total; opera à pressão atmosférica.
    • Pedidos:
      a) A fração molar do produto de fundo (ou seja, \,x_B).
      b) Os valores mínimos de:
      b1) \,L/V (razão líquido sobre vapor na seção retificadora) no caso mínimo;
      b2) \,L/D (razão líquido de refluxo sobre destilado) mínima;
      b3) \,V/B (razão vapor sobre fundo) mínima.
      c) O número mínimo de estágios teóricos ( N_{\min}) e o número de pratos reais se a eficiência global for 55\%.
      d) Se a razão interna L/V de operação usada é 0,8, calcular o número de pratos teóricos necessários.
  • Observações essenciais (importante): para calcular mínimos de refluxo e o número de estágios com precisão é necessário conhecer o comportamento de equilíbrio líquido-vapor (curva de equilíbrio) ou, comumente, a volatilidade relativa média \,\alpha do etanol em relação à água na faixa de separação. O enunciado não fornece nem a curva de equilíbrio nem um valor de \,\alpha. Sem esses dados não é possível determinar unicamente os valores mínimos de refluxo nem o número exato de estágios de forma numérica.
    • Vou, portanto:
      1. resolver a parte (a) exatamente com os dados que temos (isso não requer VLE), e
      2. explicar passo a passo as fórmulas e o método que se usa para (b), (c) e (d), mostrando também um exemplo numérico ilustrativo assumindo um valor típico de volatilidade relativa (para você ver como proceder na prova).
    • No final (na seção de resposta) eu indicarei claramente quais itens são determinados com os dados do enunciado e quais não podem ser calculados sem VLE/ \alpha.

Passo 2

Resolução da parte (a) — determinar a fração molar do produto de fundo \,x_B usando a recuperação dada. Vou proceder passo a passo, bem didático.
  1. Entendimento físico e balanço de componentes:
    • Escolho uma base molar simples para cálculos: F=1 mol de alimentação (pode ser qualquer base; escolher 1 mol torna as contas diretas).
    • Etanol na alimentação: n_{A,F} = x_F \cdot F = 0,20 \cdot 1 = 0,20 mol de etanol total na alimentação.
    • Recuperação de etanol no destilado é 97\%, logo o número de mols de etanol no destilado é n_{A,D} = 0{,}97 \cdot n_{A,F} = 0{,}97 \cdot 0{,}20 = 0{,}194\\ \text{mol}.
  2. Determine o fluxo de destilado D (em mols, na nossa base F=1):
    • Sabemos que a fração molar de etanol no destilado é \,x_D=0,85. Então D = \frac{n_{A,D}}{x_D} = \frac{0{,}194}{0{,}85}.
    • Calcule: D \approx 0{,}228235\\ \text{mol (por 1 mol de alimentação)}.çã
  3. Determine o fluxo de fundo B:
    • Balanço total de matéria: F = D + B \Rightarrow B = F - D = 1 - 0{,}228235 = 0{,}771765 mol.
  4. Determine a fração molar de etanol nos fundos \,x_B:
    • Etanol nos fundos: n_{A,B} = n_{A,F} - n_{A,D} = 0{,}20 - 0{,}194 = 0{,}006 mol.
    • Fração molar nos fundos: x_B = \frac{n_{A,B}}{B} = \frac{0{,}006}{0{,}771765}.
    • Calcule: x_B \approx 0{,}007777\\ (\text{ou }0{,}7777\%).
Comentário didático curto: isso significa que, para cada 1 mol de alimentação com 20% etanol, para recuperar 97\% do etanol em um destilado a 85\% você terá cerca de 0{,}2282 mol de destilado e 0{,}7718 mol de fundos, e os fundos conterão cerca de 0{,}78\% em etanol (molar).

Passo 3

Explicarei agora, passo a passo e de forma didática, como se determina os itens (b), (c) e (d) quando se tem os dados de equilíbrio (curva VLE) ou um valor de volatilidade relativa \,\alpha — esses são os passos que você deve aplicar na prova. Vou também dar uma ilustração numérica assumindo um valor típico de \alpha (para ver o cálculo na prática). Não pule etapas: explicarei fórmulas e o significado de cada símbolo.
  1. Relações e definições importantes (conceitos):
    • Refluxo L: líquido que volta ao topo da coluna a partir do condensador.
    • Destilado D e fundos B: produtos.
    • Razão de refluxo R é definida como R=\frac{L}{D}.
    • Em equilíbrio de massa no topo (condensador total), o fluxo de vapor que chega ao topo V é igual à soma do destilado com o refluxo: V = D + L \quad\Rightarrow\quad \frac{L}{V}=\frac{R}{R+1}.Portanto, se você souber R, obtém \,L/V por \,L/V = R/(R+1). Essa é a relação que liga os pedidos b1 e b2.
    • A razão \,V/B (vapor sobre fundo) pode ser obtida via balanços: como V = D + L e B conhecido (do balanço global), então \,V/B é simplesmente \,(D+L)/B. Para obter valor numérico é preciso L (ou R). Logo, calcular b3 também depende do refluxo R.
  2. Fórmulas para número de estágios e refluxo mínimo (resumo do método padrão: Fenske — Underwood — Gilliland):
    • a) Fórmula de Fenske (número mínimo de estágios teóricos N_{\min} à condição de refluxo total — ou seja, número mínimo de estágios para uma dada separação quando R\to\infty): N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)}onde:
      • \,x_D e \,x_B são as frações molares do componente mais volátil (etanol) no destilado e nos fundos, respectivamente (já temos esses).
      • \,\alpha é a volatilidade relativa média do etanol em relação à água (assumida constante para usar Fenske).
        Observação: essa fórmula dá o número mínimo de estágios teóricos (ideal) necessário se você trabalhar em refluxo total. Com N_{\min} você pode obter número de pratos reais dividindo pela eficiência global das placas:
      N_{\text{reais}} \approx \frac{N_{\min}}{\text{eficiência}}ê(lembrando de arredondar para cima para obter número inteiro de pratos).
    • b) Equação de Underwood (para obter o refluxo mínimo R_{\min}): é a etapa onde as coisas exigem a curva de equilíbrio ou \alpha. O procedimento (resumido) é:
      1. Resolve-se a equação de Underwood para encontrar o parâmetro \theta (raiz apropriada) que depende da alimentação (q) e das volatilidades \alpha_i. Para uma mistura binária simples e alimentação no ponto de bolha (saturada líquida), q=1 e a equação simplifica, mas ainda depende de \alpha e das composições.
      2. Depois que \theta é encontrado, o refluxo mínimo é obtido por: R_{\min}=\sum_{\text{componentes no destilado}}\frac{\alpha_i\,x_{D,i}}{\alpha_i-\theta}\;-\;1.
      • Em palavras: Underwood fornece R_{\min} com base em equilíbrio (via \alpha ou curva VLE) e nas composições do destilado. Sem \alpha ou a curva VLE, não se pode calcular R_{\min} numericamente.
    • c) Correlação de Gilliland (para obter o número de estágios N para um refluxo R finito): uma vez que você tem N_{\min} (Fenske) e R_{\min} (Underwood), e escolhe um refluxo de operação R, a correlação empírica de Gilliland relaciona a razão reduzida de refluxo com a razão reduzida de número de estágios: X=\frac{N-N_{\min}}{N+1},\qquad Y=\frac{R-R_{\min}}{R+1},e então a correlação empírica fornece Y em função de X (ou vice-versa). Existem formas tabuladas e expressões aproximadas (ex.: a forma empírica de Molokanov/Gilliland ou fórmulas ajustadas) para inverter e obter N dado R. Em resumo: para obter N você precisa de N_{\min} e R_{\min} e então usar Gilliland.
    • Portanto, para calcular numericamente (b1,b2,b3), (c) e (d) você precisa de \alpha ou da curva VLE. Sem esse dado a solução numérica é indeterminada.
  3. Exemplo ilustrativo (assumindo uma volatilidade relativa típica):
    • Para fins didáticos, vou agora mostrar como proceder numericamente se eu assumisse um valor típico de volatilidade relativa média, por exemplo \,\alpha = 2{,}5 (valor razoável, usado frequentemente como aproximação para etanol/água em certas faixas de composição e pressão). Reforço: esse valor é uma suposição ilustrativa; na prova real você deve usar os dados de VLE fornecidos ou tabelas/cálculos para \alpha.
    • Com os valores que já temos:
      • x_D = 0{,}85,\quad x_B \approx 0{,}007777 (resultado do Passo 2).
    • Aplicando Fenske: N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}85/(1-0{,}85)}{0{,}007777/(1-0{,}007777)}\right)}{\ln(2{,}5)}.Calculei (mostrando etapas):
      • \dfrac{0{,}85}{1-0{,}85}=\dfrac{0{,}85}{0{,}15}=5{,}6666667.
      • \dfrac{0{,}007777}{1-0{,}007777}\approx \dfrac{0{,}007777}{0{,}992223}\approx 0{,}00784.
      • Razão inteira \approx 5{,}6666667/0{,}00784 \approx 724{,}0.
      • \ln(724{,}0)\approx 6{,}584,\quad \ln(2{,}5)\approx 0{,}91629.
      • Logo N_{\min}\approx \frac{6{,}584}{0{,}91629}\approx 7{,}19\\ \text{estágios teóricos (a refluxo total).}áó
    • Se a eficiência global das placas é 55\% = 0{,}55, o número aproximado de pratos reais seria N_{\text{reais}}\approx \frac{N_{\min}}{0{,}55}\approx \frac{7{,}19}{0{,}55}\approx 13{,}07,ou seja, deve-se adotar pelo menos 14 pratos reais (arredondando para cima, já que não existe fração de prato). Isso responde a parte (c) na suposição ilustrativa \alpha=2{,}5.
    • Sobre R_{\min} e, consequentemente, sobre L/V_{\min}, L/D_{\min} e V/B: seria preciso aplicar Underwood (resolver para \theta e então calcular R_{\min}). Eu não apresento aqui um valor numérico sem um \alpha confiável vindo de dados VLE. Se eu insistisse em usar \alpha=2{,}5 e aplicar Underwood você teria um R_{\min} numérico, mas reforço que esse valor seria apenas ilustrativo e pode diferir do real (pois \alpha varia com composição).
    • Para o item (d): se a razão interna de operação usada é \,L/V=0{,}8, então isso implica uma razão de refluxo R dada por \frac{L}{V}=\frac{R}{R+1}=0{,}8 \quad\Rightarrow\quad R=4.Com R=4, para obter o número de pratos teóricos N usa‑se a correlação de Gilliland com N_{\min} e R_{\min}. Sem R_{\min} (de Underwood), não dá para obter N numericamente. Novamente, posso fazer a ilustração usando a suposição \alpha=2{,}5 e um cálculo de R_{\min} computado com Underwood; mas esse N seria apenas um exemplo ilustrativo, não a resposta certa para o caso real sem VLE.

Passo 4

Resumo didático do procedimento que você precisa aplicar na prova (passo a passo operacional, sem pular etapas):
  1. Use os dados de recuperação e composições para achar D, B e x_B (como fiz no Passo 2).
  2. Obtenha dados de equilíbrio (curva VLE) ou compute/obtenha a volatilidade relativa média \alpha na faixa de interesse.
  3. Use Fenske para N_{\min} (refluxo total) — formule e calcule como no Passo 3.
  4. Use Underwood para achar R_{\min} (é necessário resolver para \theta; depende de q e de \alpha_i ou dos K-values).
  5. Se você escolher um refluxo operacional R (ou, como no item d, receber L/V que dá R por R = \dfrac{L/V}{1-L/V}), use Gilliland (ou uma correlação aproximada) para obter N.
  6. Converta para número de pratos reais dividindo N pela eficiência global e arredondando para cima.
Se você quiser, posso:
  • a) Fazer os cálculos numéricos completos assumindo uma \alpha (como fiz para N_{\min} e pratos reais no exemplo com \alpha=2{,}5), ou
  • b) Se você tiver uma tabela VLE ou valores de K ou uma curva y versus x (para a pressão de operação), eu faço o cálculo exato para R_{\min}, L/V_{\min}, L/D, V/B, N e pratos reais, passo a passo.

Resposta

x_B \approx 0{,}007777 \n
b1) Indeterminado — requer dados de equilíbrio (curva VLE) ou volatilidade relativa média \alpha. \n
b2) Indeterminado — requer dados de equilíbrio (curva VLE) ou \alpha. \n
b3) Indeterminado — requer R (obtido a partir de R_{\min} que vem de Underwood) ou dados de equilíbrio. \n
c) N_{\min} e número de pratos reais: numericamente indeterminado sem \alpha/VLE. (Exemplo ilustrativo: assumindo \alpha=2{,}5 obtém‑se N_{\min}\approx 7{,}19 e N_{\text{reais}}\approx 14 placas para 55\% de eficiência.) \n
d) Para L/V=0{,}8 tem‑se R=4; o número de pratos teóricos N exige R_{\min} (Underwood) e então aplicação da correlação de Gilliland — portanto indeterminado sem dados de equilíbrio (VLE) ou \alpha. (Posso calcular numericamente se você fornecer a curva VLE ou um valor confiável de \alpha; com \alpha=2{,}5 eu posso também mostrar o cálculo ilustrativo.)

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