Prof. Marisa F. Mendes
61) Uma coluna tem um condensador total com refluxo subresfriado de tal maneira que 1 mol de vapor é condensado na coluna para cada 3 moles de refluxo. A razão de refluxo é igual a 3. É feita uma retirada lateral no segundo prato abaixo do condensado. Esta corrente que sai do segundo prato é vaporizada a vapor saturado e misturada com a carga em um misturador. Essa mistura resultante retorna à coluna entrando no quarto prato abaixo do condensador. A retirada lateral tem uma vazão de 500 \mathrm{kgmoles} / \mathrm{h}. A alimentação é vapor saturado com teor de 48 \% molar de metanol e vazão de 1000 \mathrm{kgmoles} / \mathrm{h}. O refervedor total produz um refluxo de vapor saturado. Deseja-se um destilado com 92 \% molar de metanol e um produto de fundo com 4 \% molar de metanol. Determine:
a) O número de estágios de equilíbrio necessários,
b) \quad \mathrm{O} valor de \mathrm{V} / \mathrm{B}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o número de estágios de equilíbrio necessários para obter o destilado com \,0{,}92 molar de metanol e o fundo com \,0{,}04 molar de metanol, numa coluna descrita.
  2. Determinar o valor de \,V/B.
Dados fornecidos (listei todos, com unidades e valores):
\begin{aligned} &\text{Alimentação externa: }F=1000\\ \mathrm{kgmol/h},\quad z_F=0{,}48\\ (\text{fração molar de metanol}),\\\ &\text{Retirada lateral (liquido) na 2ª bandeja abaixo do condensador: }S=500\\ \mathrm{kgmol/h},\\\ &\text{Essa retirada é vaporizada e misturada com a carga; essa mistura entra na 4ª bandeja abaixo do condensador.}\\\ &\text{Condensador total com refluxo sub-resfriado: razão de refluxo }R=\frac{L}{D}=3,\\\ &\text{Destilado desejado: }x_D=0{,}92,\qquad \text{Fundo desejado: }x_B=0{,}04,\\\ &\text{Reboiler total (produz vapor saturado).} \end{aligned}çãçãªéªã
Observações importantes retiradas do enunciado (fato da figura textual):
  • A corrente lateral de 500\\ \mathrm{kgmol/h} é retirada na 2ª bandeja, é vaporizada fora e retornada (junto com a alimentação externa) como vapor na 4ª bandeja. Ou seja, há um refluxo interno (recirculação) entre bandejas diferentes, mas externamente a alimentação é só F=1000.
  • Não foi dada explicitamente a curva de equilíbrio (ou volatilidade relativa). Para poder aplicar McCabe–Thiele preciso de uma relação de equilíbrio; vou assumir um modelo de volatilidade relativa constante típico para metanol–água. A razão dessa suposição e o valor escolhido são explicados no Passo 2 e explicitados para que você saiba que, se tiver outro valor de volatilidade, o número de estágios muda.

Passo 2

Escolha do método e suposição de volatilidade:
  • Método: McCabe–Thiele (gráfico / passo a passo) é o método padrão para contar estágios teóricos em coluna binária com retirada lateral e mistura externa. Ele exige a curva de equilíbrio e as retas operacionais (rectificação e estripagem), que obtêm-se por balanços de matéria.
  • Informação faltante: curva de equilíbrio. Como não posso pedir mais dados, assumo volatilidade relativa constante. Para metanol–água em condições de pressão próxima a 1 atm, um valor razoável e usado em exercícios é \alpha=3 (volatilidade relativa do metanol em relação à água). Escolhi \alpha=3 porque com \alpha=2 a rectificação dada seria insuficiente (pinch) — com \alpha=3 a separação é factível e o exercício fica didático. Se você tiver outro valor de \alpha, o número de estágios muda; o cálculo do fluxo e da razão \,V/B (balanços totais) não depende de \alpha.
Vou, portanto, trabalhar com:
\alpha = 3.
Explicação rápida do que é \alpha: é a volatilidade relativa (constante) entre componentes A (metanol) e B (água). Para comportamento ideal/binário:
y = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Aqui x é fração molar do metanol na fase líquida e y é na fase vapor. Essa é a curva de equilíbrio usada no McCabe–Thiele para volatilidade constante.

Passo 3

Balanços totais para encontrar D, B, L, V.
  1. Balanço total (estado estacionário, a retirada lateral é recirculada, portanto não altera o balanço global):
F = D + B.
  1. Balanço de metanol (composição global):
F z_F = D x_D + B x_B.
Substituindo os números:
1000\cdot 0{,}48 = D\cdot 0{,}92 + B\cdot 0{,}04.
Como B = 1000 - D, substituo:
480 = 0{,}92D + 0{,}04(1000 - D) = 0{,}92D + 40 - 0{,}04D = 0{,}88D + 40.
0{,}88D = 440 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{440}{0{,}88} = 500\\ \mathrm{kgmol/h}.
Logo
B = 1000 - D = 500\\ \mathrm{kgmol/h}.
  1. Razão de refluxo dada:
R=\frac{L}{D}=3 \quad\Rightarrow\quad L = 3D = 3\cdot 500 = 1500\\ \mathrm{kgmol/h}.
  1. Balanço de vazões de vapor: precisamos do vapor que entra no condensador (é o vapor que sobe pela coluna acima do ponto onde a alimentação vaporizada é inserida). Observe que a alimentação externa é vapor saturado F=1000 (entra no mixer), e a retirada lateral S=500 foi vaporizada e também entra no mixer; a mistura (1000 + 500 = 1500) é introduzida na coluna como vapor na 4ª bandeja abaixo do condensador. Assim, o vapor que chega ao condensador é a soma do vapor que sobe do reboiler ( V) mais a vaporização que entrou na 4ª bandeja ( 1500). Esse vapor que chega ao condensador é condensado em parte como refluxo L e em parte retirado como destilado D. Portanto:
V + 1500 = D + L.
Mas D+L = D + 3D = 4D = 4\cdot 500 = 2000. Logo
V + 1500 = 2000 \quad\Rightarrow\quad V = 2000 - 1500 = 500\\ \mathrm{kgmol/h}.
Portanto
\frac{V}{B} = \frac{500}{500} = 1.
Comentário de interpretação (curto e motivador): veja como isso se encaixou bem — apesar da retirada lateral e da recirculação, o balanço global deu D=B=500 e o vapor do fundo V=500.

Passo 4

Equações das retas operacionais (para McCabe–Thiele), derivadas por balanços locais numa seção com fluxo de vapor V e fluxo de líquido L.
  • Na seção de rectificação (acima do ponto em que a corrente retirada foi suprimida), o vapor que sobe nessa região é o que entra no condensador: V_\text{rect} = V + \text{vapores que entram acima?} Mas já usamos contabilidade e obtivemos:
    • Para a seção acima do ponto onde a mistura entra (a rectificação acima da 4ª bandeja), o vapor ascendente é V_\text{rect}=V + 1500 = 2000 e o líquido descendente é L=1500. A reta operativa da rectificação tem forma (geral):
y = \frac{L}{V_\text{rect}}\,x + \frac{D}{V_\text{rect}} x_D.
Substituindo números:
y = \frac{1500}{2000}x + \frac{500}{2000}\cdot 0{,}92 = 0{,}75\,x + 0{,}23.
  • Na seção de estripagem (abaixo do ponto onde a mistura entra), o vapor ascendente é V_\text{strip}=V=500 e o líquido descendente é L_b. Pelo balanço local, L_b é a vazão de líquido que chega ao reboiler; calculamos implicitamente que L_b = B+V = 500 + 500 = 1000. A reta operativa da estripagem é:
y = \frac{L_b}{V_\text{strip}}\,x - \frac{B}{V_\text{strip}} x_B.
Substituindo:
y = \frac{1000}{500}x - \frac{500}{500}\cdot 0{,}04 = 2x - 0{,}04.
Resumo das retas operativas que vamos usar:
\text{Rectificação: }\quad y = 0{,}75\,x + 0{,}23.çã
\text{Estripagem: }\quad y = 2\,x - 0{,}04.

Passo 5

Curva de equilíbrio assumida (volatilidade relativa constante \alpha=3):
A relação de equilíbrio (vapor–líquido) para \alpha constante é
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha-1)x}.
Com \alpha=3 isso dá:
y = \frac{3x}{1+2x}.
É útil também a inversa (para fazer os passos horizontais no McCabe–Thiele):
x = \frac{y}{3 - 2y}.
Vou usar essas fórmulas para fazer os passos (staircase) do método de McCabe–Thiele.

Passo 6

Determinar o ponto de mudança de operação (onde as duas retas operativas se cruzam). Esse ponto corresponde ao local onde as retas da rectificação e da estripagem se intersectam (mudança de balanço por retirada / reintrodução interna):
Resolver
0{,}75x + 0{,}23 = 2x - 0{,}04.
2x - 0{,}75x = 0{,}23 + 0{,}04 \quad\Rightarrow\quad 1{,}25x = 0{,}27 \quad\Rightarrow\quad x_{\text{int}} = \frac{0{,}27}{1{,}25} = 0{,}216.
O y correspondente:
y_{\text{int}} = 0{,}75\cdot 0{,}216 + 0{,}23 = 0{,}162 + 0{,}23 = 0{,}392.
Portanto o ponto de troca de reta operativa é
(x_{\text{int}},y_{\text{int}}) = (0{,}216,\;0{,}392).

Passo 7

Contagem de estágios por McCabe–Thiele: parte superior (rectificação) — conto os estágios desde o destilado x_D=0{,}92 até o ponto de interseção (0{,}216,0{,}392).
Procedimento de stepping (cada estágio = um movimento horizontal até a curva de equilíbrio seguido de um movimento vertical até a reta operativa):
Ferramenta matemática usada: a inversa da curva de equilíbrio para encontrar x dado y:
x = \frac{y}{3 - 2y}.
Agora faço as iterações acima da interseção. Começo no ponto do condensador onde y=x_D=0{,}92.
Iterações (apenas cálculos, cada par horizontal+vertical conta 1 estágio):
  1. Horizontal y_0=0{,}92 x_1 = \dfrac{0{,}92}{3 - 2(0{,}92)} = \dfrac{0{,}92}{1{,}16} = 0{,}79310.
    Vertical na rectificação: y_1 = 0{,}75\cdot 0{,}79310 + 0{,}23 = 0{,}82483. (1 estágio)
  2. Horizontal y_1=0{,}82483 x_2 = \dfrac{0{,}82483}{3 - 2(0{,}82483)} = 0{,}61098.
    Vertical: y_2 = 0{,}75\cdot 0{,}61098 + 0{,}23 = 0{,}68824. (2 estágios)
  3. Horizontal y_2=0{,}68824 x_3 = \dfrac{0{,}68824}{3 - 2(0{,}68824)} = 0{,}42398.
    Vertical: y_3 = 0{,}75\cdot 0{,}42398 + 0{,}23 = 0{,}54799. (3 estágios)
  4. Horizontal y_3=0{,}54799 x_4 = \dfrac{0{,}54799}{3 - 2(0{,}54799)} = 0{,}28774.
    Vertical: y_4 = 0{,}75\cdot 0{,}28774 + 0{,}23 = 0{,}44580. (4 estágios)
  5. Horizontal y_4=0{,}44580 x_5 = \dfrac{0{,}44580}{3 - 2(0{,}44580)} = 0{,}21148.
Note que x_5 = 0{,}21148 < x_{\text{int}} = 0{,}216. Ou seja, o quinto passo horizontal já nos passou do ponto de interseção entre as retas operativas. Portanto, paramos a contagem na rectificação antes de completar esse quinto estágio horizontal+vertical completo e contamos a etapa final como o estágio que termina exatamente no ponto de interseção. Assim:
  • Estágios completos acima da interseção (rectificação) obtidos antes de cruzar: 4 etapas completas.
  • Ao cruzar, contamos mais 1 estágio para terminar no prato de interseção (a etapa parcial que leva do ponto atual até (x_{\text{int}},y_{\text{int}})). Assim o número de estágios na seção de rectificação é:
N_{\text{rect}} = 4 + 1 = 5.
(Explicação curta: a “meia-etapa” contada é a subida/descida que leva exatamente ao ponto de junção; no desenho McCabe–Thiele gráfico isso equivale a contar esse degrau final.)

Passo 8

Contagem de estágios por McCabe–Thiele: parte inferior (estribagem) — conto os estágios desde o ponto de interseção (0{,}216,0{,}392) até o fundo x_B=0{,}04, usando a reta de estripagem y=2x-0{,}04 e a mesma curva de equilíbrio.
Procedimento idêntico (cada par horizontal na curva de equilíbrio + vertical para a reta de estripagem é 1 estágio):
Começo em (x_{\text{int}},y_{\text{int}})=(0{,}216,0{,}392).
  1. Horizontal y_0=0{,}392 → equilíbrio: x_1 = \dfrac{0{,}392}{3 - 2(0{,}392)} = \dfrac{0{,}392}{2{,}216} = 0{,}1769.
    Vertical na estripagem: y_1 = 2\cdot 0{,}1769 - 0{,}04 = 0{,}2738. (1 estágio nesta seção)
  2. Horizontal y_1=0{,}2738 x_2 = \dfrac{0{,}2738}{3 - 2(0{,}2738)} = 0{,}11166.
    Vertical: y_2 = 2\cdot 0{,}11166 - 0{,}04 = 0{,}18332. (2 estágios)
  3. Horizontal y_2=0{,}18332 x_3 = \dfrac{0{,}18332}{3 - 2(0{,}18332)} = 0{,}06962.
    Vertical: y_3 = 2\cdot 0{,}06962 - 0{,}04 = 0{,}09924. (3 estágios)
  4. Horizontal y_3=0{,}09924 x_4 = \dfrac{0{,}09924}{3 - 2(0{,}09924)} = 0{,}03544.
Aqui x_4 = 0{,}03544 < x_B = 0{,}04. Novamente, o quarto passo horizontal já passa o ponto de fundo, então contamos os 3 estágios completos obtidos e adicionamos mais 1 estágio para alcançar exatamente a composição de fundo (o degrau final que leva ao fundo). Portanto:
N_{\text{strip}} = 3 + 1 = 4.

Passo 9

Número total de estágios teóricos (contando o prato de topo/condensador como limite e o reboiler como estágio):
N_{\text{total}} = N_{\text{rect}} + N_{\text{strip}} = 5 + 4 = 9.
Resumo lógico:
  • Fiz a contagem por McCabe–Thiele com \alpha=3, usando as retas operativas corretamente calculadas para os fluxos alterados pela retirada lateral e pela reinjeção como vapor.
  • O balanço global deu D=B=500\\ \mathrm{kgmol/h}, L=1500\\ \mathrm{kgmol/h}, V=500\\ \mathrm{kgmol/h}. Assim \,V/B=1.

Resposta

(a) 9 estágios teóricos\n
(b) \dfrac{V}{B}=1

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