Prof. Marisa F. Mendes
61) Uma coluna tem um condensador total com refluxo subresfriado de tal maneira que 1 mol de vapor é condensado na coluna para cada 3 moles de refluxo. A razão de refluxo é igual a 3. É feita uma retirada lateral no segundo prato abaixo do condensado. Esta corrente que sai do segundo prato é vaporizada a vapor saturado e misturada com a carga em um misturador. Essa mistura resultante retorna à coluna entrando no quarto prato abaixo do condensador. A retirada lateral tem uma vazão de
. A alimentação é vapor saturado com teor de
molar de metanol e vazão de
. O refervedor total produz um refluxo de vapor saturado. Deseja-se um destilado com
molar de metanol e um produto de fundo com
molar de metanol. Determine:
a) O número de estágios de equilíbrio necessários,
b)
valor de
.
61) Uma coluna tem um condensador total com refluxo subresfriado de tal maneira que 1 mol de vapor é condensado na coluna para cada 3 moles de refluxo. A razão de refluxo é igual a 3. É feita uma retirada lateral no segundo prato abaixo do condensado. Esta corrente que sai do segundo prato é vaporizada a vapor saturado e misturada com a carga em um misturador. Essa mistura resultante retorna à coluna entrando no quarto prato abaixo do condensador. A retirada lateral tem uma vazão de
a) O número de estágios de equilíbrio necessários,
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o número de estágios de equilíbrio necessários para obter o destilado com
molar de metanol e o fundo com molar de metanol, numa coluna descrita. - Determinar o valor de
.
Dados fornecidos (listei todos, com unidades e valores):
Observações importantes retiradas do enunciado (fato da figura textual):
- A corrente lateral de
é retirada na 2ª bandeja, é vaporizada fora e retornada (junto com a alimentação externa) como vapor na 4ª bandeja. Ou seja, há um refluxo interno (recirculação) entre bandejas diferentes, mas externamente a alimentação é só . - Não foi dada explicitamente a curva de equilíbrio (ou volatilidade relativa). Para poder aplicar McCabe–Thiele preciso de uma relação de equilíbrio; vou assumir um modelo de volatilidade relativa constante típico para metanol–água. A razão dessa suposição e o valor escolhido são explicados no Passo 2 e explicitados para que você saiba que, se tiver outro valor de volatilidade, o número de estágios muda.
Passo 2
Escolha do método e suposição de volatilidade:
- Método: McCabe–Thiele (gráfico / passo a passo) é o método padrão para contar estágios teóricos em coluna binária com retirada lateral e mistura externa. Ele exige a curva de equilíbrio e as retas operacionais (rectificação e estripagem), que obtêm-se por balanços de matéria.
- Informação faltante: curva de equilíbrio. Como não posso pedir mais dados, assumo volatilidade relativa constante. Para metanol–água em condições de pressão próxima a 1 atm, um valor razoável e usado em exercícios é
(volatilidade relativa do metanol em relação à água). Escolhi porque com a rectificação dada seria insuficiente (pinch) — com a separação é factível e o exercício fica didático. Se você tiver outro valor de , o número de estágios muda; o cálculo do fluxo e da razão (balanços totais) não depende de .
Vou, portanto, trabalhar com:
Explicação rápida do que é
: é a volatilidade relativa (constante) entre componentes A (metanol) e B (água). Para comportamento ideal/binário:
Aqui
é fração molar do metanol na fase líquida e
é na fase vapor. Essa é a curva de equilíbrio usada no McCabe–Thiele para volatilidade constante.
Passo 3
Balanços totais para encontrar
,
,
,
.
- Balanço total (estado estacionário, a retirada lateral é recirculada, portanto não altera o balanço global):
- Balanço de metanol (composição global):
Substituindo os números:
Como
, substituo:
Logo
- Razão de refluxo dada:
- Balanço de vazões de vapor: precisamos do vapor que entra no condensador (é o vapor que sobe pela coluna acima do ponto onde a alimentação vaporizada é inserida). Observe que a alimentação externa é vapor saturado
(entra no mixer), e a retirada lateral foi vaporizada e também entra no mixer; a mistura (1000 + 500 = 1500) é introduzida na coluna como vapor na 4ª bandeja abaixo do condensador. Assim, o vapor que chega ao condensador é a soma do vapor que sobe do reboiler ( ) mais a vaporização que entrou na 4ª bandeja ( ). Esse vapor que chega ao condensador é condensado em parte como refluxo e em parte retirado como destilado . Portanto:
Mas
Logo
Portanto
Comentário de interpretação (curto e motivador): veja como isso se encaixou bem — apesar da retirada lateral e da recirculação, o balanço global deu
e o vapor do fundo
.
Passo 4
Equações das retas operacionais (para McCabe–Thiele), derivadas por balanços locais numa seção com fluxo de vapor
e fluxo de líquido
.
- Na seção de rectificação (acima do ponto em que a corrente retirada foi suprimida), o vapor que sobe nessa região é o que entra no condensador:
Mas já usamos contabilidade e obtivemos: - Para a seção acima do ponto onde a mistura entra (a rectificação acima da 4ª bandeja), o vapor ascendente é
e o líquido descendente é . A reta operativa da rectificação tem forma (geral):
- Para a seção acima do ponto onde a mistura entra (a rectificação acima da 4ª bandeja), o vapor ascendente é
Substituindo números:
- Na seção de estripagem (abaixo do ponto onde a mistura entra), o vapor ascendente é
e o líquido descendente é . Pelo balanço local, é a vazão de líquido que chega ao reboiler; calculamos implicitamente que . A reta operativa da estripagem é:
Substituindo:
Resumo das retas operativas que vamos usar:
Passo 5
Curva de equilíbrio assumida (volatilidade relativa constante
):
A relação de equilíbrio (vapor–líquido) para
constante é
Com
isso dá:
É útil também a inversa (para fazer os passos horizontais no McCabe–Thiele):
Vou usar essas fórmulas para fazer os passos (staircase) do método de McCabe–Thiele.
Passo 6
Determinar o ponto de mudança de operação (onde as duas retas operativas se cruzam). Esse ponto corresponde ao local onde as retas da rectificação e da estripagem se intersectam (mudança de balanço por retirada / reintrodução interna):
Resolver
O
correspondente:
Portanto o ponto de troca de reta operativa é
Passo 7
Contagem de estágios por McCabe–Thiele: parte superior (rectificação) — conto os estágios desde o destilado
até o ponto de interseção
.
Procedimento de stepping (cada estágio = um movimento horizontal até a curva de equilíbrio seguido de um movimento vertical até a reta operativa):
Ferramenta matemática usada: a inversa da curva de equilíbrio para encontrar
dado
:
Agora faço as iterações acima da interseção. Começo no ponto do condensador onde
.
Iterações (apenas cálculos, cada par horizontal+vertical conta 1 estágio):
-
Horizontal
→
Vertical na rectificação:(1 estágio) -
Horizontal
→
Vertical:(2 estágios) -
Horizontal
→
Vertical:(3 estágios) -
Horizontal
→
Vertical:(4 estágios) -
Horizontal
→
Note que
. Ou seja, o quinto passo horizontal já nos passou do ponto de interseção entre as retas operativas. Portanto, paramos a contagem na rectificação antes de completar esse quinto estágio horizontal+vertical completo e contamos a etapa final como o estágio que termina exatamente no ponto de interseção. Assim:
- Estágios completos acima da interseção (rectificação) obtidos antes de cruzar: 4 etapas completas.
- Ao cruzar, contamos mais 1 estágio para terminar no prato de interseção (a etapa parcial que leva do ponto atual até
). Assim o número de estágios na seção de rectificação é:
(Explicação curta: a “meia-etapa” contada é a subida/descida que leva exatamente ao ponto de junção; no desenho McCabe–Thiele gráfico isso equivale a contar esse degrau final.)
Passo 8
Contagem de estágios por McCabe–Thiele: parte inferior (estribagem) — conto os estágios desde o ponto de interseção
até o fundo
, usando a reta de estripagem
e a mesma curva de equilíbrio.
Procedimento idêntico (cada par horizontal na curva de equilíbrio + vertical para a reta de estripagem é 1 estágio):
Começo em
.
-
Horizontal
→ equilíbrio:
Vertical na estripagem:(1 estágio nesta seção) -
Horizontal
→
Vertical:(2 estágios) -
Horizontal
→
Vertical:(3 estágios) -
Horizontal
→
Aqui
. Novamente, o quarto passo horizontal já passa o ponto de fundo, então contamos os 3 estágios completos obtidos e adicionamos mais 1 estágio para alcançar exatamente a composição de fundo (o degrau final que leva ao fundo). Portanto:
Passo 9
Número total de estágios teóricos (contando o prato de topo/condensador como limite e o reboiler como estágio):
Resumo lógico:
- Fiz a contagem por McCabe–Thiele com
, usando as retas operativas corretamente calculadas para os fluxos alterados pela retirada lateral e pela reinjeção como vapor. - O balanço global deu
, , . Assim .
Resposta
(a)
estágios teóricos\n
(b)
(b)