Uma coluna esbelta, de comprimento
, está submetida a uma carga axial de compressão P. Considerando que a coluna é biapoiada (apoios simples nas extremidades), a equação diferencial que define sua deflexão lateral
é dada por:
Onde E é o módulo de elasticidade e l o momento de inércia da seção transversal. Considere que:
. Dados:
Comprimento da coluna:
;
Módulo de elasticidade: E = 200 Gpa ;
Módulo de inércia:
.
a) Resolva a equação diferencial e escreva a solução geral para
;
b) Aplique as condições de contorno da coluna biapoiada e, encontre a solução particular:
c) Calcule o menor valor de carga crítica para os dados fornecidos (
).
Comprimento da coluna:
Módulo de elasticidade: E = 200 Gpa ;
Módulo de inércia:
a) Resolva a equação diferencial e escreva a solução geral para
b) Aplique as condições de contorno da coluna biapoiada e, encontre a solução particular:
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Resolver a equação diferencial para a deflexão lateral
:
- (b) Aplicar as condições de contorno da coluna biapoiada (apoios simples nas extremidades) e obter a solução particular que satisfaça
- (c) Calcular o menor valor da carga crítica para os dados fornecidos, tomando
.
Dados numéricos fornecidos (vou anotar em unidades SI):
Também o enunciado já indica a condição de autovalor (tirada do problema):
Passo 2
Resolver a equação diferencial geral.
Explicação do método (bem devagar): temos uma ODE linear homogênea de coeficientes constantes. Podemos tentar uma solução exponencial
. Substituindo na equação obtemos a equação característica:
Isolando
vem
Definimos o parâmetro positivo
Como
, as raízes da característica são
. Isso gera soluções trigonométricas. A forma geral da solução, escrevendo as constantes de integração, é
onde
e
são constantes arbitrárias (a amplitude e a fase da curva) e
.
Observação didática: por que seno e cosseno? Porque combinações lineares de
e
são exatamente
e
. Essas funções satisfazem
, que é a ODE reduzida.
Passo 3
Aplicar as condições de contorno da coluna biapoiada.
Primeira condição:
. Substituindo
na solução geral:
Portanto
Com
a solução reduz-se a
Segunda condição:
. Substituindo:
Para obter uma solução não-trivial (isto é, para que a coluna realmente tenha uma forma de encurvamento não nula), precisamos de
. Então a condição passa a ser
As soluções dessa equação são
(
dá a solução trivial
, que corresponde a nenhuma flambagem.)
Portanto os modos admissíveis (as formas próprias) são
com
e amplitudes
arbitrárias (a análise linear não fixa a amplitude).
Passo 4
Relacionar
com
e obter as cargas críticas (autovalores).
Lembrando que
e usando
, temos
Elevando ao quadrado e isolando
obtemos a expressão clássica de Euler para a carga crítica do modo
:
Significado físico: para cada
existe uma carga crítica
. O menor valor (primeiro modo) ocorre para
.
A forma particular (modo
) da deflexão é, portanto,
Para o menor modo (
):
Passo 5
Calcular numericamente o menor valor de carga crítica
usando os dados.
Primeiro calcule
:
Portanto
(unidades: N·m^{2} quando E em Pa e I em m^{4}).
Agora use
Calcule
:
Finalmente,
Arredondando de forma prática, o menor valor crítico é
Comentário final e incentivo: a solução geral é simples — seno e cosseno — e os contornos quantizam os valores possíveis de
, gerando as cargas críticas de Euler. A amplitude
é livre no problema linear; na prática a amplitude real depende de imperfeições e cargas reais, mas o valor crítico calculado é a referência fundamental. Você já tem tudo que precisa para aplicar isso a outras colunas com mudanças de
ou condições de contorno diferentes.
Resposta
(a)
\n
(b) Solução particular (modos): , com
(para não-trivial
)\n
(c) Menor carga crítica ( ):
(b) Solução particular (modos):
(c) Menor carga crítica (