Uma coluna esbelta, de comprimento L, está submetida a uma carga axial de compressão P. Considerando que a coluna é biapoiada (apoios simples nas extremidades), a equação diferencial que define sua deflexão lateral v(x) é dada por:
E I v^{\prime \prime}(x)+P v(x)=0
Onde E é o módulo de elasticidade e l o momento de inércia da seção transversal. Considere que: \sqrt{ } \frac{\boldsymbol{P}}{\boldsymbol{E} \boldsymbol{I}} \boldsymbol{L}=\boldsymbol{n} \boldsymbol{\pi}. Dados:
Comprimento da coluna: \mathrm{L}=3 \mathrm{~m};
Módulo de elasticidade: E = 200 Gpa ;
Módulo de inércia: I=8 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{4}.
a) Resolva a equação diferencial e escreva a solução geral para v(x);
b) Aplique as condições de contorno da coluna biapoiada e, encontre a solução particular:
\begin{aligned} & v(0)=0 ; \\\ & v(\mathrm{~L})=0 . \end{aligned}
c) Calcule o menor valor de carga crítica para os dados fornecidos ( n=1 ).

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (a) Resolver a equação diferencial para a deflexão lateral v(x):
E I\, v''(x) + P\, v(x) = 0.
  1. (b) Aplicar as condições de contorno da coluna biapoiada (apoios simples nas extremidades) e obter a solução particular que satisfaça
v(0)=0,\qquad v(L)=0.
  1. (c) Calcular o menor valor da carga crítica para os dados fornecidos, tomando n=1.
Dados numéricos fornecidos (vou anotar em unidades SI):
L=3\\ \text{m},\qquad E=200\\ \text{GPa}=200\times 10^{9}\\ \text{Pa},\qquad I=8\times 10^{-6}\\ \text{m}^{4}.
Também o enunciado já indica a condição de autovalor (tirada do problema):
\sqrt{\frac{P}{E I}}\,L = n\pi.

Passo 2

Resolver a equação diferencial geral.
Explicação do método (bem devagar): temos uma ODE linear homogênea de coeficientes constantes. Podemos tentar uma solução exponencial v(x)=e^{\lambda x}. Substituindo na equação obtemos a equação característica:
E I\,\lambda^{2} + P = 0.
Isolando \lambda^{2} vem
\lambda^{2} = -\frac{P}{E I}.
Definimos o parâmetro positivo
k \equiv \sqrt{\frac{P}{E I}}.
Como \lambda^{2}=-k^{2}, as raízes da característica são \lambda = \pm i k. Isso gera soluções trigonométricas. A forma geral da solução, escrevendo as constantes de integração, é
v(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx),
onde A e B são constantes arbitrárias (a amplitude e a fase da curva) e k=\sqrt{\dfrac{P}{E I}}.
Observação didática: por que seno e cosseno? Porque combinações lineares de e^{ikx} e e^{-ikx} são exatamente \cos(kx) e \sin(kx). Essas funções satisfazem v'' + k^{2} v =0, que é a ODE reduzida.

Passo 3

Aplicar as condições de contorno da coluna biapoiada.
Primeira condição: v(0)=0. Substituindo x=0 na solução geral:
v(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Portanto
A=0.
Com A=0 a solução reduz-se a
v(x)=B\sin(kx).
Segunda condição: v(L)=0. Substituindo:
v(L)=B\sin(kL)=0.
Para obter uma solução não-trivial (isto é, para que a coluna realmente tenha uma forma de encurvamento não nula), precisamos de B\neq 0. Então a condição passa a ser
\sin(kL)=0.
As soluções dessa equação são
kL = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
( n=0 dá a solução trivial v\equiv 0, que corresponde a nenhuma flambagem.)
Portanto os modos admissíveis (as formas próprias) são
v_{n}(x)=B_{n}\sin\!\bigg(\frac{n\pi}{L}x\bigg),
com k=\dfrac{n\pi}{L} e amplitudes B_{n} arbitrárias (a análise linear não fixa a amplitude).

Passo 4

Relacionar k com P e obter as cargas críticas (autovalores).
Lembrando que k=\sqrt{\dfrac{P}{E I}} e usando kL=n\pi, temos
\sqrt{\frac{P}{E I}}\,L = n\pi.
Elevando ao quadrado e isolando P obtemos a expressão clássica de Euler para a carga crítica do modo n:
P_{n} = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2} E I.
Significado físico: para cada n existe uma carga crítica P_{n}. O menor valor (primeiro modo) ocorre para n=1.
A forma particular (modo n) da deflexão é, portanto,
v_{n}(x)=B_{n}\sin\!\bigg(\frac{n\pi}{L}x\bigg).
Para o menor modo ( n=1 ):
v_{1}(x)=B_{1}\sin\!\bigg(\frac{\pi}{L}x\bigg).

Passo 5

Calcular numericamente o menor valor de carga crítica P_{1} usando os dados.
Primeiro calcule E I:
E I = (200\times 10^{9})\times(8\times 10^{-6}) = 200\cdot 8 \times 10^{9-6} = 1600\times 10^{3}=1{,}6\times 10^{6}.
Portanto E I = 1{,}6\times 10^{6} (unidades: N·m^{2} quando E em Pa e I em m^{4}).
Agora use
P_{1} = \left(\frac{\pi}{L}\right)^{2} E I.
Calcule \left(\dfrac{\pi}{L}\right)^{2}:
\pi^{2}\approx 9{,}8696,\qquad L^{2}=3^{2}=9,
\left(\frac{\pi}{L}\right)^{2} = \frac{9{,}8696}{9} \approx 1{,}09662.
Finalmente,
P_{1} \approx 1{,}09662 \times 1{,}6\times 10^{6} = 1{,}754592\times 10^{6}\\ \text{N}.
Arredondando de forma prática, o menor valor crítico é
P_{1}\approx 1{,}75\times 10^{6}\\ \text{N}=1{,}75\\ \text{MN}\approx 1754{,}6\\ \text{kN}.
Comentário final e incentivo: a solução geral é simples — seno e cosseno — e os contornos quantizam os valores possíveis de k, gerando as cargas críticas de Euler. A amplitude B é livre no problema linear; na prática a amplitude real depende de imperfeições e cargas reais, mas o valor crítico calculado é a referência fundamental. Você já tem tudo que precisa para aplicar isso a outras colunas com mudanças de L,E,I ou condições de contorno diferentes.

Resposta

(a) v(x)=A\cos\!\bigg(\sqrt{\dfrac{P}{E I}}\,x\bigg)+B\sin\!\bigg(\sqrt{\dfrac{P}{E I}}\,x\bigg)\n
(b) Solução particular (modos): v_{n}(x)=B_{n}\sin\!\bigg(\dfrac{n\pi}{L}x\bigg), com n=1,2,\dots (para não-trivial B_{n}\neq 0)\n
(c) Menor carga crítica ( n=1): P_{1}=\left(\dfrac{\pi}{L}\right)^{2}EI\approx 1{,}7546\times 10^{6}\\ \text{N}

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