Para um sistemas LIT com resposta ao impulso unitário dada por
, determine a resposta
para a entrada
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a resposta
de um sistema LIT (linear e invariante no tempo) cuja resposta ao impulso é
quando a entrada é
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Queremos encontrar
— a saída do sistema para essa entrada específica. Não foi pedido nenhum outro formato (por exemplo, transformada), só a resposta no tempo.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida e prática): para um sistema contínuo, linear e invariante no tempo, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. A fórmula é
Explicando as peças:
é a variável de integração (um “tempo interno”);
é a resposta ao impulso avaliada em
;
é a entrada deslocada; a integral soma a contribuição de todas as partes. Como
e
têm fatores
(função degrau), o produto
será zero fora de um intervalo finito, e isso reduz os limites da integral — vamos ver.
Passo 3
Usamos a definição e substituímos
e
:
Agora pense nos
e
:
exige
;
exige
, ou seja
. Portanto a integral não é no infinito: para
não existe
que satisfaça
e
, então
para
. Para
os limites são
. Assim:
Passo 4
Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Multiplicando:
Agora simplificamos o segundo termo combinando expoentes:
. Logo:
Assim a integral fica
Passo 5
Calcule as integrais separadamente. Primeiro,
Segundo,
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora façamos a álgebra final para simplificar. Expandindo o segundo termo:
Fatorando
, notamos uma forma quadrática perfeita:
Lembrando que para
temos
, podemos escrever a resposta causal multiplicada por
:
(Faça um check rápido: em
a saída vale
, faz sentido; para
tende a
, também consistente com integração do impulso.)