Para um sistemas LIT com resposta ao impulso unitário dada por h(t)=e^{-2 t} u(t), determine a resposta y(t) para a entrada
x(t)=\left(1-e^{-t}\right) u(t).

Passo 1

O que o problema pede: determinar a resposta y(t) de um sistema LIT (linear e invariante no tempo) cuja resposta ao impulso é h(t)=e^{-2 t}u(t) quando a entrada é x(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)u(t).\n
Informações dadas:
h(t)=e^{-2t}u(t)
x(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)u(t)
Queremos encontrar y(t) — a saída do sistema para essa entrada específica. Não foi pedido nenhum outro formato (por exemplo, transformada), só a resposta no tempo.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e prática): para um sistema contínuo, linear e invariante no tempo, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. A fórmula é
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicando as peças: \tau é a variável de integração (um “tempo interno”); h(\tau) é a resposta ao impulso avaliada em \tau; x(t-\tau) é a entrada deslocada; a integral soma a contribuição de todas as partes. Como h(t) e x(t) têm fatores u(t) (função degrau), o produto h(\tau)x(t-\tau) será zero fora de um intervalo finito, e isso reduz os limites da integral — vamos ver.

Passo 3

Usamos a definição e substituímos h e x:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\tau}u(\tau)\,\bigl(1-e^{-(t-\tau)}\bigr)u(t-\tau)\,d\tau.
Agora pense nos u(\tau) e u(t-\tau): u(\tau) exige \tau\ge 0; u(t-\tau) exige t-\tau\ge 0, ou seja \tau\le t. Portanto a integral não é no infinito: para t<0 não existe \tau que satisfaça \tau\ge0 e \tau\le t, então y(t)=0 para t<0. Para t\ge0 os limites são \tau\in[0,t]. Assim:
\text{para }t\ge 0:\qquad y(t)=\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\Bigl(1-e^{-(t-\tau)}\Bigr)\,d\tau.

Passo 4

Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Multiplicando:
e^{-2\tau}\Bigl(1-e^{-(t-\tau)}\Bigr)=e^{-2\tau}-e^{-2\tau}e^{-(t-\tau)}.
Agora simplificamos o segundo termo combinando expoentes: -2\tau-(t-\tau)=-2\tau-t+\tau=-t-\tau. Logo:
e^{-2\tau}\Bigl(1-e^{-(t-\tau)}\Bigr)=e^{-2\tau}-e^{-t}e^{-\tau}.
Assim a integral fica
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\,d\tau - e^{-t}\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau, \quad\text{para }t\ge 0.

Passo 5

Calcule as integrais separadamente. Primeiro,
\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\,d\tau = \left[-\tfrac{1}{2}e^{-2\tau}\right]_{0}^{t} = -\tfrac{1}{2}e^{-2t} -\bigl(-\tfrac{1}{2}e^{0}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr).
Segundo,
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = \left[-e^{-\tau}\right]_{0}^{t} = -e^{-t} -(-e^{0}) = 1-e^{-t}.
Substituindo de volta:
y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr) - e^{-t}\bigl(1-e^{-t}\bigr), \quad\text{para }t\ge 0.

Passo 6

Agora façamos a álgebra final para simplificar. Expandindo o segundo termo:
y(t)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) =\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Fatorando \tfrac{1}{2}, notamos uma forma quadrática perfeita:
y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-2e^{-t}+e^{-2t}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^{2}, \quad\text{para }t\ge 0.
Lembrando que para t<0 temos y(t)=0, podemos escrever a resposta causal multiplicada por u(t):
y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^{2}u(t).
(Faça um check rápido: em t=0 a saída vale \tfrac{1}{2}(1-1)^2=0, faz sentido; para t\to\infty tende a \tfrac{1}{2}, também consistente com integração do impulso.)

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^{2}u(t)

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