Encontre uma solução particular da equação não-homogênea abaixo e obtenha a solução geral.
(a) y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 \sin (t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea com coeficientes constantes
y''+y'-2y=2\sin(t).
Pede-se: (1) encontrar uma solução particular y_p(t) dessa equação e (2) obter a solução geral y(t). Informações relevantes: termo não-homogêneo é 2\sin(t); coeficientes constantes na parte homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada para obter y_h. A equação homogênea é
y''+y'-2y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+r-2=0.
Essa é uma equação quadrática. Vamos fatorá-la: r^2+r-2=(r+2)(r-1). Logo as raízes são
r_1=1,\qquad r_2=-2.
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para a parte não-homogênea. O método de coeficientes indeterminados diz: quando o termo do lado direito é uma combinação de funções polinomiais, exponenciais, seno e cosseno (ou produtos deles), tentamos um ansatz (chute) que seja uma combinação similar. Como o lado direito é 2\sin(t), tentamos
y_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t),
onde A e B são constantes a determinar. Antes de usar esse chute, verificamos se existe ressonância: ressonância ocorreria se e^{it} (ou seja, \pm i) fosse raiz da equação característica. As raízes da característica são 1 e -2, não \pm i, portanto não há ressonância e o chute acima é apropriado.

Passo 4

Calculamos as derivadas do chute para substituir na equação:
y_p(t)=A\cos t+B\sin t,
y_p'(t)=-A\sin t + B\cos t,
y_p''(t)=-A\cos t - B\sin t.
Agora formamos y_p''+y_p'-2y_p. Substituindo:
y_p''+y_p'-2y_p = (-A\cos t - B\sin t) + (-A\sin t + B\cos t) -2(A\cos t + B\sin t).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
coeficiente de \cos t:
(-A) + B - 2A = -3A + B,
coeficiente de \sin t:
(-B) + (-A) - 2B = -A -3B.
Portanto
y_p''+y_p'-2y_p = (-3A + B)\cos t + (-A -3B)\sin t.

Passo 5

Queremos que essa expressão seja igual a 2\sin t\), ou seja \[(-3A + B)\cos t + (-A -3B)\sin t = 0\cdot\cos t + 2\cdot\sin t.
Igualando coeficientes de \cos t e \sin t obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} -3A + B = 0,\\[4pt] -A -3B = 2. \end{cases}
Da primeira equação vem (B=3A]. Substituindo na segunda:
-A -3(3A)=2 \quad\Rightarrow\quad -A -9A =2 \quad\Rightarrow\quad -10A=2.
Assim
A=-\frac{1}{5}.
E então
B=3A = -\frac{3}{5}.]

Passo 6

Com os valores encontrados, a solução particular é
y_p(t)=A\cos t + B\sin t = -\frac{1}{5}\cos t - \frac{3}{5}\sin t.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-2t}-\frac{1}{5}\cos t - \frac{3}{5}\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y_p(t)=-\dfrac{1}{5}\cos t-\dfrac{3}{5}\sin t
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-2t}-\dfrac{1}{5}\cos t-\dfrac{3}{5}\sin t

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