Encontre uma solução particular da equação não-homogênea abaixo e obtenha a solução geral.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea com coeficientes constantes
Pede-se: (1) encontrar uma solução particular
dessa equação e (2) obter a solução geral
. Informações relevantes: termo não-homogêneo é
; coeficientes constantes na parte homogênea.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada para obter
. A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Essa é uma equação quadrática. Vamos fatorá-la:
. Logo as raízes são
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não-homogênea. O método de coeficientes indeterminados diz: quando o termo do lado direito é uma combinação de funções polinomiais, exponenciais, seno e cosseno (ou produtos deles), tentamos um ansatz (chute) que seja uma combinação similar. Como o lado direito é
, tentamos
onde
e
são constantes a determinar. Antes de usar esse chute, verificamos se existe ressonância: ressonância ocorreria se
(ou seja,
) fosse raiz da equação característica. As raízes da característica são
e
, não
, portanto não há ressonância e o chute acima é apropriado.
Passo 4
Calculamos as derivadas do chute para substituir na equação:
Agora formamos
. Substituindo:
Agrupando termos em
e
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
Portanto
Passo 5
Queremos que essa expressão seja igual a
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Da primeira equação vem (B=3A]. Substituindo na segunda:
Assim
E então
]
Assim
E então
Passo 6
Com os valores encontrados, a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.