Uma coluna de fracionamento, operando a 101,32 \mathrm{kPa} é usada para separar 200 kmol de uma mistura equimolar de nitrometano e acetonitrila, o destilado obtido contém 92 \% da acetonitrila e o líquido residual contém 90 \% do nitrometano. A alimentação é um líquido saturado e a razão de destilado aplicada é igual a 3 . Sendo assim determine as quantidades de destilado e de líquido residual.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Alimentação: \,F=200\\ \text{kmol}.
  • Mistura de alimentação: mistura equimolar de nitrometano e acetonitrila, ou seja z_{\text{NM}}=0{,}5,\qquad z_{\text{ACN}}=0{,}5.
  • Destilado: contém 92\% de acetonitrila, isto é y_{\text{ACN}}=0{,}92,\qquad y_{\text{NM}}=1-0{,}92=0{,}08.
  • Líquido residual (fundos): contém 90\% de nitrometano, ou seja x_{\text{NM}}=0{,}90,\qquad x_{\text{ACN}}=1-0{,}90=0{,}10.
  • O enunciado também diz: “a razão de destilado aplicada é igual a 3.” (vou notar isso como dado, mas mais à frente explico se é necessário para calcular as quantidades).
  • O que é pedido: determinar as quantidades de destilado D e de líquido residual (fundos) B, em kmol.

Passo 2

Explicando a ideia física e as equações que vamos usar — sem pular etapas.
Em uma coluna em estado estacionário, sem acumulação, vale a conservação de matéria (balanço global) e conservação por componente (balanço do componente). Para um sistema binário simples usamos:
  • Balanço total (número de mols):
    F = D + B,
    onde F é a alimentação (kmol), D é o distilado (kmol) e B é o fundo (kmol).
  • Balanço do componente acetonitrila (escolhi a acetonitrila porque o destilado é rico nela):
    F z_{\text{ACN}} = D y_{\text{ACN}} + B x_{\text{ACN}}.
    Aqui z_{\text{ACN}} é a fração molar de acetonitrila na alimentação, y_{\text{ACN}} é a fração molar de acetonitrila no destilado e x_{\text{ACN}} é a fração molar de acetonitrila no fundo.
Comentário sobre a “razão de destilado = 3”: esse dado é ambíguo (poderia ser razão D/F, razão entre refluxo e destilado, ou outra coisa). Entretanto, para determinar as quantidades D e B conhecendo F e as composições dos produtos, NÃO é necessário saber refluxo ou qualquer outra razão operacional. Basta usar os balanços acima. Vou prosseguir com os balanços.

Passo 3

Aplicando os valores numéricos nas equações.
Balanço total:
F = D + B \quad\Rightarrow\quad B = F - D.
Balanço de acetonitrila:
F z_{\text{ACN}} = D y_{\text{ACN}} + B x_{\text{ACN}}.
Agora substituo B=F-D e os valores conhecidos.
Calcule primeiro o membro esquerdo:
F z_{\text{ACN}} = 200 \times 0{,}5 = 100\\ \text{kmol (de acetonitrila na alimentação)}.çã
Substituindo na equação:
100 = D\cdot 0{,}92 + (200-D)\cdot 0{,}10.

Passo 4

Resolver a equação algébrica passo a passo.
Expandindo:
100 = 0{,}92D + 0{,}10\times 200 - 0{,}10D.
Calcular 0{,}10\times 200:
0{,}10\times 200 = 20.
Então:
100 = 0{,}92D + 20 - 0{,}10D = (0{,}92-0{,}10)D + 20 = 0{,}82D + 20.
Isolando D:
0{,}82D = 100 - 20 = 80.
D = \dfrac{80}{0{,}82}.
Fazendo a divisão:
D = \dfrac{80}{0{,}82} = \dfrac{8000}{82} = \dfrac{4000}{41}\approx 97{,}5609756\\ \text{kmol}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
D \approx 97{,}56\\ \text{kmol}.
Agora B = F - D:
B = 200 - 97{,}5609756 \approx 102{,}4390244\\ \text{kmol},
ou arredondando:
B \approx 102{,}44\\ \text{kmol}.

Passo 5

Verificação rápida usando balanço do outro componente (nitrometano).
Balanço do nitrometano:
F z_{\text{NM}} = D y_{\text{NM}} + B x_{\text{NM}}.
Substituindo z_{\text{NM}}=0{,}5, y_{\text{NM}}=0{,}08, x_{\text{NM}}=0{,}90, D\approx97{,}56098, B\approx102{,}43902:
Membro esquerdo:
F z_{\text{NM}} = 200\times 0{,}5 = 100.
Membro direito:
D\cdot 0{,}08 + B\cdot 0{,}90 \approx 97{,}56098\times 0{,}08 + 102{,}43902\times 0{,}90.
Calcular:
97{,}56098\times 0{,}08 \approx 7{,}8048784,
102{,}43902\times 0{,}90 \approx 92{,}195118.
Somando:
7{,}8048784 + 92{,}195118 \approx 100{,}0000,
o que confere com o lado esquerdo (pequenas diferenças são devidas a arredondamentos). Portanto os resultados são consistentes.

Resposta

Distilado D \approx 97{,}56\\ \text{kmol}
Líquido residual B \approx 102{,}44\\ \text{kmol}

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