Uma mistura líquida equimolar de n -heptano/n-octano é submetida a uma destilação descontínua simples a 30^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm até que esteja 80 \% destilado. Para uma base de cálculo, considere que alimentação tenha 100 mol , calcule:
a. Composição final do resíduo, sabendo que a volatilidade relativa média é de \alpha=2,45.
b. Composição média do destilado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Mistura líquida equimolar de n-heptano / n-octano: alimentação 100 mol com fração molar inicial de n-heptano \,x_F=0,5.
    • Processo: destilação descontínua simples (batch), operação até 80\% destilado (ou seja, 80 mol destilados e 20 mol no resíduo).
    • Volatilidade relativa média dada: \alpha=2,45 (razão de volatilidade do componente mais volátil — n-heptano — sobre o menos volátil).
    • Temperatura e pressão: 30^{\circ}\mathrm{C} e 1 atm (esses dados servem para justificar uso de \alpha constante; não precisamos de valores de pressão de vapor explicitamente).
  • O que se pede:
    (a) Composição final do resíduo (fração molar de n-heptano no líquido residual, chamado daqui por diante x_W);
    (b) Composição média do destilado acumulado (fração molar média de n-heptano no total dos 80 mol destilados).

Passo 2

Conceitos e equações essenciais (aula curta e prática):
  • Em destilação batch simples, quando a volatilidade relativa \alpha é aproximadamente constante, a relação equilibro líquido-vapor para a fração molar do componente mais volátil (n-heptano) é, em forma conveniente:
y = \frac{\alpha\,x}{1+(\alpha-1)x},
onde:
  • x é a fração molar no líquido (liquid phase),
  • y é a fração molar no vapor (vapor phase),
  • \alpha é a volatilidade relativa (maior que 1 se esse componente for o mais volátil).
  • Balanço diferencial de massa no sistema batch leva à Equação de Rayleigh:
\ln\!\left(\frac{L_0}{L}\right)=\int_{x_0}^{x} \frac{dx}{y-x},
onde:
  • L_0 é a quantidade inicial de líquido ( 100 mol aqui),
  • L é a quantidade de líquido no instante considerado (no final do processo L=20 mol),
  • x_0 é a fração molar inicial no líquido ( x_0=x_F=0,5),
  • x é a fração molar no líquido no tempo final (aqui x=x_W, incógnita).
Vou usar essa equação substituindo y pela relação com \alpha e integrar com calma.

Passo 3

Substituição de y e manipulação algébrica do integrando (passo-a-passo do cálculo da integral):
  • Começo substituindo y por \dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}. Então o denominador da integral fica:
y-x=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x.
  • Colocando sobre um mesmo denominador:
y-x=\frac{\alpha x - x[1+(\alpha-1)x]}{1+(\alpha-1)x} =\frac{(\alpha-1)x - (\alpha-1)x^2}{1+(\alpha-1)x} =\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.
  • Portanto o integrando é:
\frac{1}{y-x}=\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
  • Agora decompomos para integrar:
\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)} =\frac{1}{\alpha-1}\cdot\frac{1}{x(1-x)}+\frac{1}{1-x}.
(Verificação rápida: \dfrac{1}{x(1-x)}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}.)
  • Integrando termo a termo entre x_0 e x:
\int_{x_0}^{x}\frac{dx}{y-x} =\frac{1}{\alpha-1}\Big[\ln x - \ln(1-x)\Big]_{x_0}^{x} - \Big[\ln(1-x)\Big]_{x_0}^{x}.
(Detalhe: \int \dfrac{1}{1-x}dx = -\ln(1-x).)
  • Então a Equação de Rayleigh fica, após simplificação das diferenças:
\ln\!\left(\frac{L_0}{L}\right) =\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x}{1-x}\cdot\frac{1-x_0}{x_0}\right) - \ln\!\left(\frac{1-x}{1-x_0}\right).
Podemos usá-la diretamente ou simplificá-la para o caso numérico.

Passo 4

Aplicando os números do problema e simplificando até obter uma equação para x_W:
  • Valores conhecidos:
    • L_0=100 mol, L=20 mol ( 80\% destilado) \Rightarrow \ln\!\left(\dfrac{L_0}{L}\right)=\ln 5.
    • x_0=x_F=0,5 (fração molar inicial de n-heptano).
    • \alpha=2,45.
  • Substituindo em a expressão anterior e usando \dfrac{x_0}{1-x_0}=1 e 1-x_0=0,5:
\ln 5 =\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x_W}{1-x_W}\right) - \ln(1-x_W) - \ln 2.
  • Agrupando termos (somando \ln 2 dos dois lados):
\ln 10 =\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x_W}{1-x_W}\right) - \ln(1-x_W).
  • Multiplicando ambos os lados por \alpha-1 e exponenciando para eliminar logaritmos, obtemos uma forma conveniente:
\frac{x_W}{1-x_W} =10^{(\alpha-1)}(1-x_W)^{(\alpha-1)}.
  • Multiplicando por (1-x_W):
x_W = 10^{(\alpha-1)}(1-x_W)^{\alpha}.
Esta é a equação que determina x_W (fração molar de n-heptano no resíduo) quando se conhece \alpha e a fração destilada.

Passo 5

Resolução numérica da equação x_W = 10^{(\alpha-1)}(1-x_W)^{\alpha} com \alpha=2,45:
  • Primeiro calcule 10^{(\alpha-1)}. Como \alpha-1=1,45:
10^{1,45}\approx 28{,}18.
  • Defina u=1-x_W (fração molar de n-octano no resíduo). A equação transforma-se em:
1-u = 28{,}18\;u^{2,45} \quad\Longleftrightarrow\quad f(u)=28{,}18\,u^{2,45}+u-1=0.
  • Fazendo tentativa por busca (bisseção/iteração simples):
    • u=0,2 f(0,2)\approx -0,251 (negativo).
    • u=0,25 f(0,25)\approx +0,195 (positivo).
    • Refinando, u=0,23 f(0,23)\approx -0,00003 (praticamente zero).
  • Logo a raiz é u\approx 0,2300. Portanto:
x_W = 1-u \approx 1-0,2300 = 0,7700.
Interpretação: o resíduo líquido final tem cerca de 77{,}00\% de n-heptano e 23{,}00\% de n-octano em mol fraction.

Passo 6

Cálculo da composição média do destilado acumulado:
  • Moles iniciais de n-heptano: 100\cdot x_F=100\cdot 0,5=50 mol.
  • Moles de n-heptano no resíduo final: L\cdot x_W=20\cdot 0,7700=15{,}400 mol.
  • Logo, moles de n-heptano destilados = 50-15{,}400=34{,}600 mol.
  • Moles totais destilados = 80 mol. Logo a fração molar média de n-heptano no destilado é:
\bar{y}_{\text{dest}}=\frac{34{,}600}{80}=0{,}4325.
  • Assim, o destilado médio tem 43{,}25\% de n-heptano e 56{,}75\% de n-octano (em frações molares).

Resposta

(a) Composição do resíduo: x_{\text{n-heptano,resíduo}}=0,7700í; x_{\text{n-octano,resíduo}}=0,2300í
(b) Composição média do destilado: \bar{y}_{\text{n-heptano}}=0,4325; \bar{y}_{\text{n-octano}}=0,5675

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