Uma mistura líquida equimolar de n -heptano/n-octano é submetida a uma destilação descontínua simples a
e 1 atm até que esteja
destilado. Para uma base de cálculo, considere que alimentação tenha 100 mol , calcule:
a. Composição final do resíduo, sabendo que a volatilidade relativa média é de
.
b. Composição média do destilado.
a. Composição final do resíduo, sabendo que a volatilidade relativa média é de
b. Composição média do destilado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Mistura líquida equimolar de n-heptano / n-octano: alimentação
mol com fração molar inicial de n-heptano . - Processo: destilação descontínua simples (batch), operação até
destilado (ou seja, mol destilados e mol no resíduo). - Volatilidade relativa média dada:
(razão de volatilidade do componente mais volátil — n-heptano — sobre o menos volátil). - Temperatura e pressão:
e atm (esses dados servem para justificar uso de constante; não precisamos de valores de pressão de vapor explicitamente).
- Mistura líquida equimolar de n-heptano / n-octano: alimentação
- O que se pede:
(a) Composição final do resíduo (fração molar de n-heptano no líquido residual, chamado daqui por diante);
(b) Composição média do destilado acumulado (fração molar média de n-heptano no total dosmol destilados).
Passo 2
Conceitos e equações essenciais (aula curta e prática):
- Em destilação batch simples, quando a volatilidade relativa
é aproximadamente constante, a relação equilibro líquido-vapor para a fração molar do componente mais volátil (n-heptano) é, em forma conveniente:
onde:
-
é a fração molar no líquido (liquid phase), -
é a fração molar no vapor (vapor phase), -
é a volatilidade relativa (maior que 1 se esse componente for o mais volátil). -
Balanço diferencial de massa no sistema batch leva à Equação de Rayleigh:
onde:
-
é a quantidade inicial de líquido ( mol aqui), -
é a quantidade de líquido no instante considerado (no final do processo mol), -
é a fração molar inicial no líquido ( ), -
é a fração molar no líquido no tempo final (aqui , incógnita).
Vou usar essa equação substituindo
pela relação com
e integrar com calma.
Passo 3
Substituição de
e manipulação algébrica do integrando (passo-a-passo do cálculo da integral):
- Começo substituindo
por . Então o denominador da integral fica:
- Colocando sobre um mesmo denominador:
- Portanto o integrando é:
- Agora decompomos para integrar:
(Verificação rápida:
.)
- Integrando termo a termo entre
e :
(Detalhe:
.)
- Então a Equação de Rayleigh fica, após simplificação das diferenças:
Podemos usá-la diretamente ou simplificá-la para o caso numérico.
Passo 4
Aplicando os números do problema e simplificando até obter uma equação para
:
-
Valores conhecidos:
-
mol, mol ( destilado) -
(fração molar inicial de n-heptano). -
.
-
-
Substituindo em a expressão anterior e usando
e :
- Agrupando termos (somando
dos dois lados):
- Multiplicando ambos os lados por
e exponenciando para eliminar logaritmos, obtemos uma forma conveniente:
- Multiplicando por
:
Esta é a equação que determina
(fração molar de n-heptano no resíduo) quando se conhece
e a fração destilada.
Passo 5
Resolução numérica da equação
com
:
- Primeiro calcule
. Como :
- Defina
(fração molar de n-octano no resíduo). A equação transforma-se em:
- Fazendo tentativa por busca (bisseção/iteração simples):
-
dá (negativo). -
dá (positivo). - Refinando,
dá (praticamente zero).
-
- Logo a raiz é
. Portanto:
Interpretação: o resíduo líquido final tem cerca de
de n-heptano e
de n-octano em mol fraction.
Passo 6
Cálculo da composição média do destilado acumulado:
- Moles iniciais de n-heptano:
mol. - Moles de n-heptano no resíduo final:
mol. - Logo, moles de n-heptano destilados =
mol. - Moles totais destilados =
mol. Logo a fração molar média de n-heptano no destilado é:
- Assim, o destilado médio tem
de n-heptano e de n-octano (em frações molares).
Resposta
(a) Composição do resíduo:
;
(b) Composição média do destilado: ;
(b) Composição média do destilado: