Questão 3 (2,0 Pontos): Os seguintes dados resultaram de experiências com um filtro-prensa de laboratório com 4 quadros (6 \times 6 \times 0,5) \mathrm{in}.:
Pressão de filtração: 100 psi
Temperatura: 25^{\circ} \mathrm{C}
Tempo de filtração: 55 min
Volume de filtrado: 168 litros
Deseja-se filtrar a mesma suspensão, à mesma pressão, em um filtro industrial, para obter-se 2.000 \mathrm{ft}^{3} de filtrado em 6 horas de efetiva filtração. Determine:
a) (0,5) A espessura dos quadros na unidade industrial;
b) (1,0) \mathrm{O} número de quadros, se os quadros da unidade industrial são de 30 in nominais (tamanho efetivo 21,8 in);
c) (0,5) \mathrm{O} volume de água de lavagem, após 30 minutos de operaçāo de lavagem (a 100 psi, utilizando lavagem simples).
1 \mathrm{psi}=1 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}=6894,76 \mathrm{~Pa} ; \mathrm{If}=12 \mathrm{in}=30,48 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo o que vamos usar):
  • Dados do ensaio de laboratório:
    • número de quadros: 4 (cada quadro 6\times6\times0{,}5 in);
    • pressão de filtração: 100\\ \mathrm{psi} (mantida igual na escala industrial);
    • tempo de filtração do ensaio: t_{\text{lab}}=55\\ \mathrm{min};
    • volume de filtrado no ensaio: V_{\text{lab}}=168\\ \mathrm{L}.
  • Dados desejados na unidade industrial:
    • volume desejado: V_{\text{ind}}=2000\\ \mathrm{ft}^3;
    • tempo efetivo de filtração: t_{\text{ind}}=6\\ \mathrm{h}=360\\ \mathrm{min}.
  • Informação sobre quadros industriais: quadros de 30 in nominais, com tamanho efetivo (lado) 21{,}8\\ \mathrm{in} (assumimos quadros quadrados de lado 21{,}8\\ \mathrm{in} para cálculo da área efetiva).
  • Constantes e conversões que vão aparecer:
    • 1\\ \mathrm{ft}^3 = 28{,}3168\\ \mathrm{L}.
  • O enunciado pergunta:
    (a) A espessura dos quadros na unidade industrial (isto é, a espessura do “cake” equivalente que deve formar em uma operação que dure 6 horas nas mesmas condições).
    (b) O número de quadros, se os quadros industriais têm tamanho efetivo 21{,}8\\ \mathrm{in}.
    (c) O volume de água de lavagem correspondente a 30 minutos de operação de lavagem (a 100\\ \mathrm{psi}), usando lavagem simples.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicação didática do método que vamos usar).
  • Para filtração a pressão constante, a teoria clássica de filtração por leito (pressão constante, leito crescentemente resistente) dá a equação
t = \frac{\mu \alpha c}{2P A^{2}}\,V^{2} + \frac{\mu R_{m}}{P A}\,V,
onde:
  • t é o tempo de filtração,
  • \mu é a viscosidade do fluido,
  • \alpha é a resistência específica do bolo (cake),
  • c é a concentração de sólidos (massa de sólidos por volume de filtrado),
  • P é a pressão (queda de pressão aplicada),
  • A é a área de filtração (área total dos quadros),
  • V é o volume de filtrado produzido,
  • R_m é a resistência do meio (tela, telas, placa).
  • Explicando em palavras: o primeiro termo (proporcional a V^2) vem da resistência crescente do bolo à medida que ele aumenta de espessura; o segundo termo (proporcional a V) é a resistência fixa do meio.
  • Hipóteses que adotamos (explicadas e justificadas): como o enunciado dá apenas um ensaio, não temos R_m, \alpha, c isolados. O procedimento padrão é:
    • assumir que, para o volume e suspensão usados, a resistência do bolo domina (ou seja, o termo em V^2 domina) — isso permite desprezar o termo linear em V e reduzir a relação a
    t \approx K\left(\frac{V}{A}\right)^{2},onde K=\dfrac{\mu\alpha c}{2P} é uma constante para as mesmas condições de pressão, temperatura e suspensão.
    • interpretar \dfrac{V}{A} como a “espessura equivalente do bolo” formada sobre a área A (unidade de comprimento). Vou chamar essa espessura de s:
    s=\frac{V}{A}.Assim, para o caso em que se forma um bolo de espessura s sobre a área A, o tempo necessário é t \approx K\,s^{2}.
  • Justificativa prática: esta forma é amplamente usada para escalonamento quando se conhece um ensaio à pressão constante e se quer projetar um equipamento maior nas mesmas condições. Vou usar esse modelo para extrair a constante K do ensaio-lab e aplicá-la ao caso industrial.

Passo 3

Cálculo dos valores do ensaio de laboratório (conversões e obtenção de K).
  • Área total do ensaio de laboratório:
    • cada quadro tem 6\times6\\ \mathrm{in} = 36\\ \mathrm{in}^2;
    • são 4 quadros, logo A_{\text{lab}}=4\cdot36=144\\ \mathrm{in}^2.
    • convertendo para \mathrm{ft}^2: 144\\ \mathrm{in}^2 = 1{,}0000\\ \mathrm{ft}^2\? (atenção: 1\\ \mathrm{ft}^2 = 144\\ \mathrm{in}^2), portanto
    A_{\text{lab}}=\frac{144}{144}=1{,}0\\ \mathrm{ft}^2.
  • Converter o volume filtrado do ensaio para \mathrm{ft}^3: V_{\text{lab}}=\frac{168\\ \mathrm{L}}{28{,}3168\\ \mathrm{L/ft}^3}=5{,}93307\\ \mathrm{ft}^3.
  • Espessura equivalente do bolo no ensaio (lembre: s=V/A): s_{\text{lab}}=\frac{V_{\text{lab}}}{A_{\text{lab}}}=\frac{5{,}93307\\ \mathrm{ft}^3}{1{,}0\\ \mathrm{ft}^2}=5{,}93307\\ \mathrm{ft}.(isto é, s_{\text{lab}}=5{,}93307\\ \mathrm{ft}=5{,}93307\cdot12=71{,}197\\ \mathrm{in}.)
  • A constante K é obtida de t_{\text{lab}}=K s_{\text{lab}}^{2}. Assim K=\frac{t_{\text{lab}}}{s_{\text{lab}}^{2}}=\frac{55\\ \mathrm{min}}{(5{,}93307\\ \mathrm{ft})^{2}}.Calculemos: s_{\text{lab}}^{2}=5{,}93307^{2}=35{,}2013\\ \mathrm{ft}^2,
K=\frac{55}{35{,}2013}=1{,}5629\\ \mathrm{min/ft}^2.

Passo 4

Determinar a espessura de bolo necessária na unidade industrial para t_{\text{ind}}=360\\ \mathrm{min} (aplicando t=K s^2).
  • Da relação t_{\text{ind}}=K s_{\text{ind}}^{2} segue s_{\text{ind}}=\sqrt{\frac{t_{\text{ind}}}{K}}=\sqrt{\frac{360\\ \mathrm{min}}{1{,}5629\\ \mathrm{min/ft}^2}}.Calculemos: \frac{360}{1{,}5629}=230{,}369\quad\Rightarrow\quad s_{\text{ind}}=\sqrt{230{,}369}=15{,}183\\ \mathrm{ft}.
  • Converta para polegadas (o enunciado pediu “espessura dos quadros” em geral é comum dar em polegadas): s_{\text{ind}}=15{,}183\\ \mathrm{ft}\times 12\\ \frac{\mathrm{in}}{\mathrm{ft}}=182{,}20\\ \mathrm{in}.
  • Comentário interpretativo (curto): pela aproximação adotada, o bolo que se formaria em 6 horas, nas mesmas condições, teria espessura equivalente de 15{,}18\\ \mathrm{ft} (ou 182{,}2\\ \mathrm{in}). Este valor é o que matematicamente garante, pelo modelo t=K s^2, que a formação desse bolo sobre a área total do filtro leve 6 horas.

Passo 5

Calcular a área total necessária na unidade industrial e o número de quadros (usando quadros efetivos de 21{,}8\\ \mathrm{in} de lado).
  • Área total necessária (porque V_{\text{ind}}=A_{\text{ind}}\cdot s_{\text{ind}}, logo A_{\text{ind}}=V_{\text{ind}}/s_{\text{ind}}): A_{\text{ind}}=\frac{2000\\ \mathrm{ft}^3}{15{,}183\\ \mathrm{ft}}=131{,}76\\ \mathrm{ft}^2.
  • Área efetiva de um quadro industrial (lado 21{,}8\\ \mathrm{in}): a_{\text{quadro}}=(21{,}8\\ \mathrm{in})^{2}=\bigg(\frac{21{,}8}{12}\\ \mathrm{ft}\bigg)^{2}=(1{,}8167\\ \mathrm{ft})^{2}=3{,}3003\\ \mathrm{ft}^2.
  • Número de quadros necessários (arredondamos para cima, pois não se usa fração de quadro): N=\frac{A_{\text{ind}}}{a_{\text{quadro}}}=\frac{131{,}76}{3{,}3003}=39{,}92\\ \Rightarrow\\ \text{usar }40\\ \text{quadros}.

Passo 6

Volume de água de lavagem em 30 minutos (hipóteses e cálculo).
  • Hipótese prática para lavagem simples: durante a operação de lavagem (30 min) o fluxo de lavagem, sob a mesma pressão e através do mesmo bolo, tem comportamento médio semelhante ao fluxo de filtração médio obtido no ensaio, quando normalizado por área. Ou seja, usamos o fluxo médio específico do ensaio e aplicamos à área total industrial durante 30 minutos. Esta é uma hipótese comum quando falta a curva detalhada de lavagem e quando se pede estimativa de volume de lavagem em tempo fixo.
  • Fluxo específico médio do ensaio (fluxo volumétrico por unidade de área):
    • no ensaio: V_{\text{lab}}=5{,}93307\\ \mathrm{ft}^3 em t_{\text{lab}}=55\\ \mathrm{min}=0{,}9166667\\ \mathrm{h} sobre A_{\text{lab}}=1{,}0\\ \mathrm{ft}^2. Assim o fluxo específico médio é
    j_{\text{lab}}=\frac{V_{\text{lab}}}{t_{\text{lab (h)}}\cdot A_{\text{lab}}}=\frac{5{,}93307}{0{,}9166667\cdot 1{,}0}=6{,}4754\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{h\cdot ft}^2.
  • Volume de lavagem em 30 minutos ( 0{,}5\\ \mathrm{h}) na área total A_{\text{ind}}=131{,}76\\ \mathrm{ft}^2: V_{\text{wash}}=j_{\text{lab}}\cdot A_{\text{ind}}\cdot 0{,}5\\ \mathrm{h}=6{,}4754\cdot131{,}76\cdot0{,}5=426{,}54\\ \mathrm{ft}^3.
  • Converter para litros: V_{\text{wash}}=426{,}54\\ \mathrm{ft}^3\times 28{,}3168\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{ft}^3}=12\,074{,}5\\ \mathrm{L}.
  • Observação sobre hipótese: este valor é uma estimativa sob a hipótese de que a vazão média de lavagem por área é semelhante à vazão média de filtração observada no ensaio. Se se dispuser de curvas de permeabilidade do bolo durante lavagem, a estimativa pode ser refinada.

Resposta

(a) s_{\text{ind}}=182{,}2\\ \mathrm{in} ( =15{,}18\\ \mathrm{ft}).
(b) N=40 quadros.
(c) V_{\text{lavagem}}=426{,}54\\ \mathrm{ft}^3 = 12\,074{,}5\\ \mathrm{L}.

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