Recentemente, tecnologias foram desenvolvidas para a produção de aromas por microrganismos. Um determinado caldo de fermentação, produzido para esse fim, contém uma substância aromática na concentração de 0,75 \% \mathrm{w} / \mathrm{w}. O aroma deve ser recuperado por destilação integral. O caldo será aquecido à temperatura Te destilado instantaneamente no recipiente de evaporação mantido a 20 kPa .
Determine o valor mínimo de T para uma recuperação de 70 \% do aroma no destilado.
A função de equilíbrio líquido-vapor para o sistema água-aroma é: \mathrm{y}=50 \mathrm{x}, onde x e y são as concentrações do aroma no líquido e no vapor, em porcentagem em peso. As propriedades térmicas do caldo são semelhantes às da água.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Concentração inicial do aroma no caldo: \,0,75\%\\ \mathrm{w/w}. Vou chamar isto de x_F.
  • A destilação é feita por flash instantâneo a pressão fixa P=20\\ \mathrm{kPa}.
  • A relação de equilíbrio líquido–vapor (dada) é \,y=50\,x, onde x e y são as concentrações do aroma no líquido e no vapor, respectivamente (em porcentagem em massa). Vou tratar x e y como frações em massa quando for conveniente.
  • Deseja-se recuperar 70\% do aroma no destilado (vapor). Ou seja, 70\% da massa total de aroma presente no caldo deve estar na fase vapor após o flash.
  • Propriedades térmicas do caldo semelhantes às da água (usarei c_p da água e o calor latente à temperatura de saturação correspondente a 20\\ \mathrm{kPa}).
O que preciso encontrar: o valor mínimo de T (temperatura a que o caldo é aquecido antes do flash) que garante que 70\% do aroma vá para o destilado.

Passo 2

Definições, escolha de base e conversões (explicando tudo passo a passo).
  • Escolho base F=1\\ \mathrm{kg} de caldo (facilita contas; o resultado é independente da base).
  • Concentração inicial em fração de massa: x_F = 0,75\% = 0,0075.Assim, a massa total de aroma no caldo é F x_F = 1\cdot 0,0075 = 0,0075\\ \mathrm{kg}.
  • Após o flash surgem duas correntes: vapor com massa V (kg) e líquido restante L=F-V.
  • Notação:
    • x = fração em massa do aroma no líquido após equilíbrio (unidade: kg aroma/kg líquido).
    • y = fração em massa do aroma no vapor após equilíbrio.
  • A relação de equilíbrio dada \,y=50\,x vou usar em frações (por exemplo, se x=0,002 então y=50\cdot 0,002=0,10, isto corresponde a 10\% em massa no vapor).
  • A condição de recuperação de 70\% significa que a massa de aroma no vapor deve ser 0,7 vezes a massa total de aroma: V\,y = 0,7 \, F x_F.

Passo 3

Balanço de massa total e do componente aroma e resolução para a fração vaporizada V.
  • Balanço do aroma (por unidade de base F=1): F x_F = V y + (F-V) x.Substituindo F=1: x_F = V y + (1-V) x.
  • Usando a relação de equilíbrio y=50 x, o balanço do aroma fica: x_F = V(50 x) + (1-V)x = x(50V + 1 - V) = x(1+49V).Logo x = \frac{x_F}{1+49V}. \tag{1}
  • A condição de recuperação 70\% é V y = 0,7 x_F.Substituindo y=50x e a expressão (1) para x: V\cdot 50 x = 0,7 x_F \quad\Rightarrow\quad 50V\cdot\frac{x_F}{1+49V}=0,7 x_F.Cancelando x_F\neq 0: \frac{50V}{1+49V}=0,7.
  • Resolver para V: 50V = 0,7(1+49V)=0,7 + 34,3V
50V-34,3V=0,7 \quad\Rightarrow\quad 15,7V=0,7
V = \frac{0,7}{15,7}\approx 0,044585.
Ou seja, é preciso vaporizar cerca de 4,4585\% da massa do caldo para que 70\% do aroma vá no vapor.
  • Agora calculo x e y correspondentes: x = \frac{x_F}{1+49V} = \frac{0,0075}{1+49\cdot 0,044585} \approx 0,002353\quad(\text{fração}),çãque em porcentagem é x\approx 0,2353\%.
    E y=50x\approx 50\cdot 0,002353\approx 0,11765\quad(\text{fração}),çãou seja y\approx 11,765\% no vapor.
    (Esses valores fazem sentido: o vapor fica muito mais concentrado em aroma que o líquido.)

Passo 4

Relação energia / balanço entálpico do flash (a peça-chave para achar T) — explicação didática do método.
  • Quando um líquido à temperatura T é submetido subitamente a uma pressão menor P (aqui 20\\ \mathrm{kPa}), forma-se vapor até que líquido e vapor atinjam o equilíbrio à temperatura de saturação correspondente à pressão P. A temperatura final de equilíbrio será a temperatura de saturação T_{\mathrm{sat}} correspondente a P.
  • Conservação de energia (por kg de caldo, sem trocas de calor externas, assumindo flash adiabático) dá: h_F = V h_V + (1-V) h_L,onde
    • h_F é a entalpia do líquido no estado inicial (temperatura T),
    • h_L é a entalpia do líquido saturado a P (temperatura T_{\mathrm{sat}}),
    • h_V é a entalpia do vapor saturado a P.
  • Reorganizando: V = \frac{h_F - h_L}{h_V - h_L} = \frac{h_F - h_L}{h_{fg}},onde h_{fg}=h_V-h_L é o calor latente à pressão P.
  • Aproximação prática (e padrão em problemas): para pequenas concentrações de soluto e propriedades térmicas parecidas com água, podemos tomar h_F - h_L \approx c_p (T - T_{\mathrm{sat}}),com c_p constante (calor específico do líquido, aqui da água). Assim V \approx \frac{c_p (T - T_{\mathrm{sat}})}{h_{fg}}.Esta fórmula diz: a fração vaporizada é (energia sensível disponível acima da entalpia do líquido saturado) dividida pelo calor necessário para vaporizar uma unidade de massa.
  • Vamos usar essa expressão para calcular T necessária para obter o V que já achamos.

Passo 5

Aplicação numérica com valores da água (explicando as escolhas) e cálculo de T.
  • Propriedades usadas (valores típicos/consultados em tabelas de vapor da água):
    • Pressão de operação P=20\\ \mathrm{kPa} → temperatura de saturação aproximada T_{\mathrm{sat}} \approx 60,1\,^\circ\mathrm{C}. Vou usar T_{\mathrm{sat}}=60,1\,^\circ\mathrm{C}.
    • Calor específico do líquido: c_p \approx 4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Calor latente à T_{\mathrm{sat}} (água a \sim 60\,^\circ\mathrm{C}): h_{fg}\approx 2392\\ \mathrm{kJ/kg} (valor aproximado obtido de tabelas — é razoável usar este valor; se usar tabela mais precisa obtém-se número próximo).
  • Usando a expressão V \approx \frac{c_p (T - T_{\mathrm{sat}})}{h_{fg}},resolvo para T: T = T_{\mathrm{sat}} + \frac{V\,h_{fg}}{c_p}.
  • Substituindo V\approx 0,044585, h_{fg}=2392\\ \mathrm{kJ/kg}, c_p=4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e T_{\mathrm{sat}}=60,1\,^\circ\mathrm{C}: \Delta T = \frac{V\,h_{fg}}{c_p} = \frac{0,044585\cdot 2392}{4,18} \approx \frac{106,63}{4,18} \approx 25,51\\ \mathrm{K}.
T \approx 60,1 + 25,51 \approx 85,6\,^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: é preciso aquecer o caldo a cerca de 85,6\,^\circ\mathrm{C} antes de submetê-lo ao flash a 20\\ \mathrm{kPa} para que aproximadamente 4,46\% do caldo vaporize — valor esse que, pela relação de equilíbrio y=50x, corresponde a remover 70\% do aroma no destilado.
  • Observações sobre aproximações: usei c_p constante e o h_{fg} tomado à temperatura de saturação de 20\\ \mathrm{kPa}. Como o aroma está em muito baixa concentração e o enunciado diz que as propriedades térmicas do caldo são semelhantes às da água, essas aproximações são adequadas para estimar o T mínimo pedido. Com tabelas de vapor mais precisas (valores exatos de h_{fg} e T_{\mathrm{sat}}) obtém-se um T muito próximo do valor acima.

Resposta

T \approx 85,6\,^\circ\mathrm{C}

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