Uma coluna de madeira carregada axialmente tem as seguintes características:
e
. Determine os primeiros sete autovalores e as cargas de flambagem correspondentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma coluna de madeira que está sendo carregada axialmente. A gente tem algumas características:
- Módulo de Elasticidade,
- Momento de Inércia,
- Comprimento da coluna,
O conteúdo envolvido aqui é a Teoria de Flambagem, que estuda o comportamento das colunas sujeitas a cargas ao longo do eixo. Para resolver, vamos precisar da fórmula das cargas de flambagem que dependem dos autovalores (números que aparecem na solução de equações diferenciais relacionadas à estabilidade da coluna).
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular as cargas de flambagem. A fórmula mais comum para colunas com extremidades pinos (solta para girar) é:
Onde:
-
é a carga de flambagem para o modo -
é o número do autovalor (1, 2, 3, …) -
é a constante pi (~3,1416) -
é o módulo de elasticidade -
é o momento de inércia -
é o comprimento da coluna
Passo 3
Agora, vamos calcular os primeiros sete autovalores e suas cargas correspondentes usando a fórmula acima. Vamos substituir os valores dados:
E vamos calcular para
até
.
Passo 4
Vamos fazer os cálculos passo a passo:
Para cada
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculando para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os primeiros sete autovalores e suas respectivas cargas de flambagem são: