Uma coluna de madeira carregada axialmente tem as seguintes características: E=10 times 10^9 Pa, I=1,25 times 10^-5 m 4 e L=3 m. Determine os primeiros sete autovalores e as cargas de flambagem correspondentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma coluna de madeira que está sendo carregada axialmente. A gente tem algumas características:
  • Módulo de Elasticidade, E = 10 times 10^9 , Pa
  • Momento de Inércia, I = 1,25 times 10^-5 , m^4
  • Comprimento da coluna, L = 3 , m
O conteúdo envolvido aqui é a Teoria de Flambagem, que estuda o comportamento das colunas sujeitas a cargas ao longo do eixo. Para resolver, vamos precisar da fórmula das cargas de flambagem que dependem dos autovalores (números que aparecem na solução de equações diferenciais relacionadas à estabilidade da coluna).

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular as cargas de flambagem. A fórmula mais comum para colunas com extremidades pinos (solta para girar) é:
Pn = n^2 pi^2 E IL^2
Onde:
  • Pn é a carga de flambagem para o modo n
  • n é o número do autovalor (1, 2, 3, …)
  • pi é a constante pi (~3,1416)
  • E é o módulo de elasticidade
  • I é o momento de inércia
  • L é o comprimento da coluna

Passo 3

Agora, vamos calcular os primeiros sete autovalores e suas cargas correspondentes usando a fórmula acima. Vamos substituir os valores dados:
E = 10 times 10^9 , Pa, I = 1,25 times 10^-5 , m^4, L = 3 , m
E vamos calcular para n = 1 até n = 7 .

Passo 4

Vamos fazer os cálculos passo a passo:
Para cada n :
Pn = n^2 pi^2 times 10 times 10^9 times 1,25 times 10^-53^2
Simplificando:
Pn = n^2 times 9,8696 times 10 times 10^9 times 1,25 times 10^-59
Pn = n^2 times 9,8696 times 1,25 times 10^59
Pn = n^2 times 12,3379 times 10^5 , N
Pn approx n^2 times 1,3719 times 10^6 , N

Passo 5

Agora, calculando para cada n :
  1. Para n = 1 :
P1 approx 1^2 times 1,3719 times 10^6 = 1,3719 times 10^6 , N
  1. Para n = 2 :
P2 approx 2^2 times 1,3719 times 10^6 = 4 times 1,3719 times 10^6 = 5,4876 times 10^6 , N
  1. Para n = 3 :
P3 approx 3^2 times 1,3719 times 10^6 = 9 times 1,3719 times 10^6 = 12,3471 times 10^6 , N
  1. Para n = 4 :
P4 approx 4^2 times 1,3719 times 10^6 = 16 times 1,3719 times 10^6 = 21,9504 times 10^6 , N
  1. Para n = 5 :
P5 approx 5^2 times 1,3719 times 10^6 = 25 times 1,3719 times 10^6 = 34,2975 times 10^6 , N
  1. Para n = 6 :
P6 approx 6^2 times 1,3719 times 10^6 = 36 times 1,3719 times 10^6 = 49,389 times 10^6 , N
  1. Para n = 7 :
P7 approx 7^2 times 1,3719 times 10^6 = 49 times 1,3719 times 10^6 = 67,2426 times 10^6 , N

Resposta

Os primeiros sete autovalores e suas respectivas cargas de flambagem são:
  1. P1 approx 1,37 times 10^6 , N
  2. P2 approx 5,49 times 10^6 , N
  3. P3 approx 12,35 times 10^6 , N
  4. P4 approx 21,95 times 10^6 , N
  5. P5 approx 34,30 times 10^6 , N
  6. P6 approx 49,39 times 10^6 , N
  7. P7 approx 67,24 times 10^6 , N

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