Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas:
3 x1^2+8 x1 x2-3 x2^2=10

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma forma quadrática: 3 x1^2 + 8 x1 x2 - 3 x2^2 = 10. O conteúdo aqui envolve formas quadráticas e como representá-las usando matrizes. Vamos precisar saber como transformar essa expressão em uma forma matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma forma quadrática em duas variáveis, x1 e x2, pode ser escrita como x^T A x, onde x é o vetor x1 x2 e A é uma matriz simétrica. Isso significa que a matriz A tem que ser igual à sua transposta, ou seja, A = A^T.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes da forma quadrática que a gente tem:
  • O coeficiente de x1^2 é 3.
  • O coeficiente de x1 x2 é 8.
  • O coeficiente de x2^2 é -3.

Passo 4

Como a matriz A precisa ser simétrica, os elementos fora da diagonal principal (como a12 e a21) têm que ser iguais. O coeficiente de x1 x2 é 8, mas na forma matricial isso fica dividido igualmente entre a12 e a21. Então, cada um desses elementos será 4, porque 2 times 4 x1 x2 = 8 x1 x2.

Passo 5

Agora, podemos montar a matriz A com esses valores:
A = 3 & 4 4 & -3
Isso significa que a forma quadrática pode ser reescrita como x^T A x.

Resposta

A forma matricial da forma quadrática dada é:
x^T 3 & 4 4 & -3 x = 10

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