Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas:
17 x1^2-30 x1 x2+17 x2^2=128.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente caracterizar e encontrar a forma matricial de uma forma quadrática específica: 17 x1^2 - 30 x1 x2 + 17 x2^2 = 128. Isso significa que iremos transformar essa expressão em uma matriz e entender algumas das suas propriedades. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre formas quadráticas e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma quadrática. Basicamente, é uma expressão que envolve termos quadráticos (como x1^2) e termos cruzados (como x1 x2). A forma matricial de uma forma quadrática em duas variáveis pode ser escrita como x^T A x, onde x é um vetor coluna com as variáveis e A é uma matriz simétrica.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes da nossa expressão:
  • O coeficiente de x1^2 é 17.
  • O coeficiente de x1 x2 é -30.
  • O coeficiente de x2^2 é 17.
Como a matriz A precisa ser simétrica, o termo que multiplica x1 x2 na matriz será a metade do coeficiente desse termo na expressão original.

Passo 4

Vamos construir a matriz A:
A = a & b b & c
Onde:
  • a = 17 (coeficiente de x1^2)
  • c = 17 (coeficiente de x2^2)
  • b = -302 = -15 (metade do coeficiente de x1 x2)
Então, a matriz fica:
A = 17 & -15 -15 & 17

Passo 5

Com a matriz A definida, podemos escrever a forma matricial da forma quadrática:
x^T A x = 128
Onde x = x1 x2 .

Passo 6

Por fim, para caracterizar a forma quadrática, podemos analisar a matriz A. Observamos que:
  • A matriz é simétrica.
  • Os autovalores de A podem ser encontrados para determinar se a forma é definida positiva, negativa ou indefinida.

Resposta

A forma matricial da forma quadrática é x^T 17 & -15 -15 & 17 x = 128.

Exercícios relacionados