Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente caracterizar e encontrar a forma matricial de uma forma quadrática específica: . Isso significa que iremos transformar essa expressão em uma matriz e entender algumas das suas propriedades. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre formas quadráticas e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma quadrática. Basicamente, é uma expressão que envolve termos quadráticos (como ) e termos cruzados (como ). A forma matricial de uma forma quadrática em duas variáveis pode ser escrita como , onde é um vetor coluna com as variáveis e é uma matriz simétrica.
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes da nossa expressão:
O coeficiente de é 17.
O coeficiente de é -30.
O coeficiente de é 17.
Como a matriz precisa ser simétrica, o termo que multiplica na matriz será a metade do coeficiente desse termo na expressão original.
Passo 4
Vamos construir a matriz :
Onde:
a = 17 (coeficiente de x1^2)
c = 17 (coeficiente de x2^2)
b = -302 = -15 (metade do coeficiente de x1 x2)
Então, a matriz fica:
A = 17 & -15 -15 & 17
Passo 5
Com a matriz A definida, podemos escrever a forma matricial da forma quadrática:
x^T A x = 128
Onde x = x1 x2 .
Passo 6
Por fim, para caracterizar a forma quadrática, podemos analisar a matriz A. Observamos que:
A matriz é simétrica.
Os autovalores de A podem ser encontrados para determinar se a forma é definida positiva, negativa ou indefinida.
Resposta
A forma matricial da forma quadrática é x^T 17 & -15 -15 & 17 x = 128.